Question

Дано tga=3/2 (0°<a<90°). Найти sin2a, cos2a, tg2a

Answer 1

tg2a = 2tga / 1 - tg²a = 2 * 3/2 / 1 - (3/2)² = 3 / 1 - 9/4 = 3 / (-5/4) = - 3 * 4/5 = -2,4.

Тангенс и косинус связаны между собой тождеством: 1 + tg²a = 1/cos²a.
Отсюда можем найти cos²a = 1/1 + tg²a = 1 / (1 + (3/2)²) = 1 / (1 + 9/4) = 1 / 13/4 = 4/13, тогда cosa = 2/√13.

cos2a = 2cos²a - 1 = 2 * 4/13 - 1 = -5/13.

По основному тригонометрическому тождеству sin²a = 1 - cos²a = 1 - (2/√13)² = 1 - 4/13 = 9/13, отсюда sina = 3/√13, т.к. по условию углы находятся в первой четверти, и синус, косинус и тангенс положительны.

sin2a = 2sina*cosa = 2 * 2/√13 * 3/√13 = 12/13.