Question

Определить какой из рядов сходится и указать тип сходимости.
1) (-1)^n+1*2^n/3^n+n

2) (-1)^n*n^4/n^4+3n^2+1

Помогите,пожалуйста

Answer 1

$sum limits _{n=1}^{infty }frac{(-1)^{n+1}cdot 2^{n}}{3^{n}+n}\\Priznak; Lejbnica:; ; a); limlimits _{n to infty} |a_n |= limlimits _{n to infty}, frac{2^{n}}{3^{n}+n}= limlimits _{n to infty}, frac{2^{n}cdot ln2}{3^{n}cdot ln3+1}=\\=limlimits _{n to infty},frac{2^{n}cdot ln^22}{3^{n}cdot ln^23}=frac{ln^22}{ln^23}cdot limlimits _{n to +infty}, Big (frac{2}{3}Big )^{n}=frac{ln^22}{ln^23}cdot 0=0$

$b); ; |a_1| textgreater |a_2| textgreater a_3| textgreater ldots textgreater |a_{n}| textgreater ldots \\frac{2}{3+1} textgreater frac{2^2}{3^2+1} textgreater frac{2^3}{3^3+1} textgreater ldots textgreater frac{2^{n}}{3^{n}+1} textgreater ldots$

Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.
Ряд будет абсолютно сходящимся, т.к. для ряда, составленного из абсолютных величин выполняется признак Даламбера:


$limlimits _{n to infty}frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= limlimits _{n to infty}(frac{2^{n+1}}{3^{n+1}+n+1}:frac{2^{n}}{3^{n}+1})= limlimits _{n to infty}frac{2^{n}cdot 2(3^{n}+1)}{(3^{n+1}+n+1)cdot 2^{n}}= \\=limlimits _{n to infty}frac{2(3^{n}+1)}{3^{n+1}+n+1}=limlimits _{n to infty}frac{2cdot 3^{n}cdo ln3}{3^{n+1}cdot ln3+1}=limlimits _{n to infty}frac{2cdot 3^{n}cdot ln^23}{3^{n+1}cdot ln^23}=\\=limlimits _{n to infty}frac{2cdot 3^{n}ln^23}{3^{n}cdot 3ln^23}=frac{2}{3}<1$


$2); ; sum limits _{n=1}^{infty }frac{(-1)^{n}cdot n^4}{n^4+3n^2+1}\\Priznak; Lejbnica:\\a); limlimits _{n to infty}frac{n^4}{n^4+3n^2+1}=limlimits _{n to infty}, frac{1}{1+frac{3}{n^2}+frac{1}{n^4}}=1ne 0; ; Rightarrow$

так как не выполняется 1 пункт признака Лейбница, то нет смысла проверять 2 пункт. Вывод: знакочередующийся ряд расходится.