Question

Помогите, пожалуйста, решить тригонометрическое уравнение. Подробно

Answer 1

$sin2x-2 sqrt{3} cosleft(x+ dfrac{7 pi }{6} right)=3cos x$
$sin2x-2 sqrt{3} left(cos xcos dfrac{7 pi }{6} -sin xsin dfrac{7 pi }{6} right)=3cos x$
$sin2x-2 sqrt{3} left(cos xcdotleft(- dfrac{ sqrt{3} }{2}right) -sin xcdotleft(- dfrac{ 1 }{2}right) right)=3cos x$
$sin2x-2 sqrt{3} left(-dfrac{ sqrt{3} }{2} cos x+ dfrac{ 1 }{2}sin x right)=3cos x$
$sin2x+3cos x- sqrt{3} sin x =3cos x$
$sin2x- sqrt{3} sin x =0$
$2sin xcos x- sqrt{3} sin x =0$
$sin xleft(2cos x- sqrt{3}right) =0 \ sin x=0Rightarrow boxed{x_1= pi n , nin Z} \ 2cos x- sqrt{3}=0Rightarrow cos x= dfrac{ sqrt{3} }{2} Rightarrow boxed{x_2=pm dfrac{ pi }{6} +2 pi n, nin Z}$

Отбор корней.
1 серия:
$- dfrac{3 pi }{2} leq pi n leq 0$
$- dfrac{3 }{2} leq n leq 0$
$n=0: boxed{x=0}$
$n=-1: boxed{x=- pi }$
2 серия:
$- dfrac{3 pi }{2} leq dfrac{ pi }{6} +2 pi n leq 0$
$- dfrac{3 }{2} leq dfrac{1 }{6} +2 n leq 0$
$- dfrac{3 }{2}-dfrac{1 }{6} leq 2 n leq -dfrac{1 }{6}$
$- dfrac{5 }{4} leq 2 n leq -dfrac{1 }{6}$
$- dfrac{5 }{8} leq n leq -dfrac{1 }{12}$
$nnotin Z$
3 серия:
$- dfrac{3 pi }{2} leq -dfrac{ pi }{6} +2 pi n leq 0$
$- dfrac{3 }{2} leq- dfrac{1 }{6} +2 n leq 0$
$- dfrac{3 }{2}+dfrac{1 }{6} leq 2 n leq dfrac{1 }{6}$
$- dfrac{4 }{3} leq 2 n leq dfrac{1 }{6}$
$- dfrac{2 }{3} leq n leq dfrac{1 }{12}$
$n=0: boxed{x=-dfrac{ pi }{6}}$

Answer 2

Есть ещё один корень. В первой серии: n= -1 x= - pi

Answer 3

Спасибо