Исследовать функции y=0,8x^5-4x^3 на экстремумы и точки перегиба с помощью первой и второй производных
Ответы
Ответ дал:
2
1) Найдем экстремумы функции. Для этого найдем
производную y' и приравняем ее к нулю y' = 0
![y'=(0,8x^5-4x^3)' = 4 x^{4} -12 x^{2} y'=(0,8x^5-4x^3)' = 4 x^{4} -12 x^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%280%2C8x%5E5-4x%5E3%29%27+%3D+4+x%5E%7B4%7D+-12+x%5E%7B2%7D++)
Тогда
![4 x^{4} -12 x^{2} = 0 \\ \\ 4 x^{2} (x^{2} -3) = 0 \\ \\ x=0 \ \bigcup \ (x^{2} -3) = 0 \ \Rightarrow \ x = \pm \sqrt{3} 4 x^{4} -12 x^{2} = 0 \\ \\ 4 x^{2} (x^{2} -3) = 0 \\ \\ x=0 \ \bigcup \ (x^{2} -3) = 0 \ \Rightarrow \ x = \pm \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=4+x%5E%7B4%7D+-12+x%5E%7B2%7D+%3D+0++%5C%5C++%5C%5C+4+x%5E%7B2%7D+%28x%5E%7B2%7D+-3%29+%3D+0++%5C%5C++%5C%5C++x%3D0+%5C+%5Cbigcup+%5C+%28x%5E%7B2%7D+-3%29+%3D+0+%5C+%5CRightarrow+%5C+x+%3D+%5Cpm++%5Csqrt%7B3%7D+)
Получили три точки экстремума
![f'(-2) \ \textgreater \ 0 \ ; \ f'(-1) \ \textless \ 0 f'(-2) \ \textgreater \ 0 \ ; \ f'(-1) \ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28-2%29+%5C+%5Ctextgreater+%5C++0+%5C+%3B+%5C+f%27%28-1%29+%5C+%5Ctextless+%5C++0)
В точке экстремума
производная
меняет знак с "+" на "-" значит это точка
максимума.
![f'(-1) \ \textless \ 0 \ ; \ f'(1) \ \textless \ 0 f'(-1) \ \textless \ 0 \ ; \ f'(1) \ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28-1%29+%5C+%5Ctextless+%5C++0+%5C+%3B+%5C+f%27%281%29+%5C+%5Ctextless+%5C++0)
Производная, проходя через точку х=0 не меняет знак, значит это не точка экстремума, а сама функция убывает.
![f'(1) \ \textless \ 0 \ ; \ f'(2) \ \ \textgreater \ \ 0 f'(1) \ \textless \ 0 \ ; \ f'(2) \ \ \textgreater \ \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%281%29+%5C+%5Ctextless+%5C+0+%5C+%3B+%5C+f%27%282%29+%5C+%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C+0)
В точке экстремума
производная меняет знак с "-" на "+" значит это точка минимума
2) Найдем точки перегиба. Для этого найдем вторую производную у'' и приравняем её к нулю y'' = 0
![y''=(4 x^{4} -12 x^{2} )' = 16 x^{3}-24x y''=(4 x^{4} -12 x^{2} )' = 16 x^{3}-24x](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%3D%284+x%5E%7B4%7D+-12+x%5E%7B2%7D+%29%27+%3D+16+x%5E%7B3%7D-24x+)
Тогда
![16 x^{3}-24x =0 \\ \\ 8x(2x^{2}-3) =0 \\ \\ x = 0 \ \bigcup \ (2x^{2}-3) =0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{ \frac{3}{2} } 16 x^{3}-24x =0 \\ \\ 8x(2x^{2}-3) =0 \\ \\ x = 0 \ \bigcup \ (2x^{2}-3) =0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{ \frac{3}{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=+16+x%5E%7B3%7D-24x+%3D0++%5C%5C++%5C%5C++8x%282x%5E%7B2%7D-3%29+%3D0++%5C%5C++%5C%5C++x+%3D+0+%5C++%5Cbigcup+%5C+%282x%5E%7B2%7D-3%29+%3D0+%5CRightarrow+x%3D+%5Cpm++%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D+)
Получили три точки.
Найдем значение третьей производной в этих точка
![y''' = (16 x^{3}-24x )' = 48 x^{2} -24 y''' = (16 x^{3}-24x )' = 48 x^{2} -24](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%27+%3D+%2816+x%5E%7B3%7D-24x+%29%27+%3D+48+x%5E%7B2%7D+-24)
Тогда
![y''' (0) = 48 *0 -24 = -24 \neq 0 y''' (0) = 48 *0 -24 = -24 \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%27+%280%29+%3D+48+%2A0+-24+%3D+-24++%5Cneq+0)
![y'''( \sqrt{1,5}) = 48 *1,5 -24 = 48 \neq 0 \\ \\ y'''(- \sqrt{1,5}) = 48 *1,5 -24 = 48 \neq 0 y'''( \sqrt{1,5}) = 48 *1,5 -24 = 48 \neq 0 \\ \\ y'''(- \sqrt{1,5}) = 48 *1,5 -24 = 48 \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%27%28+%5Csqrt%7B1%2C5%7D%29+%3D+48+%2A1%2C5+-24+%3D+48++%5Cneq+0++%5C%5C++%5C%5C+y%27%27%27%28-+%5Csqrt%7B1%2C5%7D%29+%3D+48+%2A1%2C5+-24+%3D+48++%5Cneq+0)
Следовательно, в точках
функция имеет перегиб.
Тогда
Получили три точки экстремума
В точке экстремума
Производная, проходя через точку х=0 не меняет знак, значит это не точка экстремума, а сама функция убывает.
В точке экстремума
2) Найдем точки перегиба. Для этого найдем вторую производную у'' и приравняем её к нулю y'' = 0
Тогда
Получили три точки.
Найдем значение третьей производной в этих точка
Тогда
Следовательно, в точках
Вас заинтересует
4 месяца назад
4 месяца назад
11 месяцев назад
11 месяцев назад
2 года назад
2 года назад
7 лет назад