Question

Исследовать функции y=0,8x^5-4x^3 на экстремумы и точки перегиба с помощью первой и второй производных

Answer 1

1) Найдем экстремумы функции. Для этого найдем производную y' и приравняем ее к нулю y' = 0
$y'=(0,8x^5-4x^3)' = 4 x^{4} -12 x^{2}$

Тогда
$4 x^{4} -12 x^{2} = 0 \\ \\ 4 x^{2} (x^{2} -3) = 0 \\ \\ x=0 \ \bigcup \ (x^{2} -3) = 0 \ \Rightarrow \ x = \pm \sqrt{3}$
Получили три точки экстремума

$f'(-2) \ \textgreater \ 0 \ ; \ f'(-1) \ \textless \ 0$
В точке экстремума $x=- \sqrt{3}$ производная меняет знак с "+" на "-"  значит это точка максимума.

$f'(-1) \ \textless \ 0 \ ; \ f'(1) \ \textless \ 0$
Производная, проходя через точку х=0 не меняет знак, значит это не точка экстремума, а сама функция убывает.

$f'(1) \ \textless \ 0 \ ; \ f'(2) \ \ \textgreater \ \ 0$
В точке экстремума $x= \sqrt{3}$ производная меняет знак с "-" на "+"  значит это точка минимума


2) Найдем точки перегиба. Для этого найдем вторую производную у'' и приравняем её к нулю y'' = 0
$y''=(4 x^{4} -12 x^{2} )' = 16 x^{3}-24x$

Тогда
$16 x^{3}-24x =0 \\ \\ 8x(2x^{2}-3) =0 \\ \\ x = 0 \ \bigcup \ (2x^{2}-3) =0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{ \frac{3}{2} }$
Получили три точки.

Найдем значение третьей производной в этих точка
$y''' = (16 x^{3}-24x )' = 48 x^{2} -24$

Тогда
$y''' (0) = 48 *0 -24 = -24 \neq 0$

$y'''( \sqrt{1,5}) = 48 *1,5 -24 = 48 \neq 0 \\ \\ y'''(- \sqrt{1,5}) = 48 *1,5 -24 = 48 \neq 0$

Следовательно, в точках $x=- \sqrt{1,5} \ ; \ x=0 \ ; \ x= \sqrt{1,5}$  функция имеет перегиб.