Question

В квадрате 10*10 закрашено несколько клеток. В каждой строке есть либо 3,либо 4 закрашенные клетки.В каждом столбце есть либо 1, либо 7 закрашенных клеток. Какое наименьшее количество клеток могло быть закрашено?
(А)-30, (В)-34, (В)-38, (Г)-40, (Д)-42

Answer 1

Оценка по столбцам: минимально возможное количество закрашенных клеток - 1·10=10.
Оценка по строкам: минимально возможное количество закрашенных клеток - 3·10=30.
Если разместить в каждую строку по 3 закрашенных клетки, то общее их количество не удастся разделить на столбцы по 1 или 7 клеток, так как система:
$left{begin{array}{l} m+n=10 \ m+7n=30 end{array}$
не имеет решения в натуральных числах (первое уравнение - общее число столбцов, второе - количество закрашенных клеток).
Если постепенно увеличивать общее количество закрашенных клеток, то окажется, что при их количестве, равном 34, система
$left{begin{array}{l} m+n=10 \ m+7n=34 end{array}$
даст решение (4; 6). Значит, в 4 столбцах будет закрашено 7 клеток, а в 6 столбцах - одна. Дополнительно введенные 4 клетки равномерно распределим между этими строками, пользуясь условием, что в строке может быть 4 закрашенных клетки.
Пример расстановки на картинке.
Ответ: 34