Question

В наборе 2018 чисел: 2 в степени 1, 2 в степени 2, 2 в степени3 ... 2 в степени 2018. Сколькими способами из этого набора можно убрать одно число, чтобы произведение оставшихся чисел было квадратом некоторого натурального числа?
Варианты ответов :
1) 1007 2) 1008 3) 1009 4) 2017 5) 2018

Answer 1

Так как все числа умножаются, то степени будут складываться, каждое число с 1 до 2018. Получается арифметическая последовательность. Её сумма равна $S=\frac{a_1+a_n}{2}*n=\frac{1+2018}{2}*2018=2019*1009$. Получается нечётное число. Известно, что каждая чётная степень двойки — это квадрат натурального числа $2^2=(2^1)^2; 2^4=(2^2)^2; 2^6=(2^3)^2$ и так далее. 

Таким образом, нам нужно из нечётной степени двойки 2019*1009 сделать чётную. Чтобы из нечётного числа получить чётное, нужно из нечётного отнять или прибавить нечётное. Другими словами, нужно из данной последовательности убрать двойку в нечётной степени. Всего нечетных чисел в последовательности от 1 до 2018 — 1009. То есть, ответ: 1009.