Question

решить неравенство. допереть не могу как решить. 20 баллов даю

Answer 1

$x^{2} +2x-9+ \frac{9}{ (x+1)^{2} } \geq 0$
ОДЗ: (x+1)²≠0, x+1≠0. x≠-1
x∈(-∞; -1)∪(-1; ∞)

выделим полный квадрат выражения x²+2x-9.
x²+2x-9=x²+2*x*1+1²-1²-9=(x²+2*x*1+1²)-1-9=(x+1)²-10
запишем неравенство в виде:

$( x+1)^{2} -10+ \frac{9}{ (x+1)^{2} } \geq 0$
введем новую переменную:
(x+1)²=t, t>0 получим:
$t-10+ \frac{9}{t} \geq 0 | * t$
$\frac{ t^{2}-10t+9 }{ t } \geq 0$
метод интервалов:
1. $\frac{ t^{2}-10t+9 }{ t} } \geq=0$
$\left \{ {{ t^{2} -10t+9=0} \atop {t \neq 0}} \right. , \left \{ {{ t_{1} =1, t_{2}=9 } \atop {t \neq 0}} \right.$
2.   -----(0)++++[1]-----[9]++++>t
3. t>0, t≤1, t≥9

обратная замена:
1. t>0,  (x+1)²>0. x<-1, x>-1. x∈(-∞; -1)∪(-1; ∞)
2. t≤1,  (x+1)²≤1. x²+2x+1-1≤0. x²+2x≤0. x*(x+2)≤0

++++[-2]------[0]++++++>x
x∈[-2; 0]. учитывая ОДЗ, получим:
x∈[-2;-1)∪(-1;0]
3. t≥9,  (x+1)²≥9.  (x+1)²-3²≥0.  (x+1-3)*(x+1+3)≥0. (x-2)*(x+4)≥0
++++[-4]-----[2]++++>x
x≤-4, x≥2.  x∈(-∞; -4]∪[2; ∞), учитывая ОДЗ, получим:
x∈(-∞; -4]∪[2; ∞)
ответ: x∈(-∞; -4]∪[-2; -1)∪(-1;0]∪[2;∞)