Question

Высота, опущенная из вершины прямого угла треугольника на гипотенузу, равна sqrt[4]{2} , а угол между медианой и биссектрисой, проведенными из той же вершины , равен 22,5°. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

Проведем дополнительные прямые ON⊥ AC И OM⊥AB.
Не трудно заметить, что АО=ОС, AN=NC, ΔAON=ΔNOC ⇒ ΔAOC равнобедренный
∠CAO=∠CAD+∠DAO=45°+22,5° =67,5°=∠OCA
$Sin 67,5= frac{AK}{AC}$ ⇒ $AC= frac{AK}{Sin 67,5} = frac{ sqrt{4} }{2}: frac{ sqrt{2+ sqrt{2} } }{2} = frac{ sqrt{4}}{sqrt{2+ sqrt{2} }}$ условных единиц длины
ΔABC: $Tg67,5= frac{AB}{AC}$ ⇒ $AB=Tg67,5* AC= frac{ sqrt{4}}{ sqrt{2+ sqrt{2} }}* sqrt{ frac{ sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1} }$
S=AB*AC/2
$S=frac{ sqrt{4}}{sqrt{2+ sqrt{2} }} *frac{ sqrt{4}}{ sqrt{2+ sqrt{2} }}* sqrt{ frac{ sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1} }* frac{1}{2} = frac{2}{2+ sqrt{2} }*sqrt{ frac{ sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1} }$ условных единиц площади