Question

Решите пожалуйста 4,5,6,7 номера
( желательно на листочке)

Answer 1

4. $frac{cos(pi x)}{x-2}=frac{1}{x-2}\ cos(pi x)*frac{1}{x-2}-frac{1}{x-2}=0\ (cos(pi x)-1)*frac{1}{x-2}=0\ (cos(pi x)-1=0 or frac{1}{x-2}=0) and x neq 2\ cos(pi x)=1 and x neq 2\ x=2n, where nin Z and x neq 2\ x=2n, where nin Zsetminus{1}$

5. $sqrt{x-5} textless x-7\ 0 leq x-5 textless (x-7)^2 and x-7 textgreater 0\ x geq 5 and x-5 textless x^2-14x+49 and x textgreater 7\ x^2-15x+54 textgreater 0 and x textgreater 7\ (x-6)(x-9) textgreater 0 and x textgreater 7\ xin(-infty;6)cup(9;+infty) and xin(7;+infty)\ xin(9;+infty)$

6. $sqrt{3x+4} geq x\ (x geq 0 and 3x+4 geq x^2) or (x textless 0 and 3x+4 geq 0)\ (x geq 0 and x^2-3x-4 leq 0) or (x textless 0 and x geq -frac{4}{3})\ (x geq 0 and (x+1)(x-4) leq 0) or xin[-frac{4}{3};0)\ (xin[0;+infty) and xin[-1;4]) or xin[-frac{4}{3};0)\ xin[0;4] or xin[-frac{4}{3};0)\ xin[-frac{4}{3};4]$

7. $5^{7x-1}+ sqrt{7x-1}=5^{x^2-9}+ sqrt{x^2-9}\ f(x)=5^x textgreater 0 and g(x)=sqrt{x} geq 0\ a(x)=7x-1 and b(x)=x^2-9\ f(a)+g(a)=f(b)+g(b)$

Нас интересует указанное уравнение на следующем промежутке значений для агрумента $x$:

$7x-1 geq 0 and x^2-9 geq 0\ xin[frac{1}{7};+infty) and xin(-infty;-3]cup[3;+infty)\ xin[3;+infty)$
на указанном промежутке как выражение $5^{7x-1}+ sqrt{7x-1}$ так и выражение $5^{x^2-9}+ sqrt{x^2-9}$ являються суммами двух МОННОТОННО РАСТУЩИХ функций

при чем свой рост первая сумма начинает с значения $5^{7*3-1}+sqrt{3*7-1}approx5^{20}$
а вторая с значения $5^{0}+sqrt{0}=1 textless textless 5^{20}$

и тут важно увидеть, что темп роста (скорость роста) первой суммы, как функции, ниже темпа роста второй суммы, как функции, так как в первой сумме фигурирует выражение $7x-1approx x$, а во второй $x^2-9approx x^2$ (на интересующем нас интервале значений икс)

и также критически важно заметить, что скорость роста темпа (скорости) роста второй функции с ростом аргумента, только растет, также как и в случае с первой, это можно показать через первую и вторую производные на интересующем нас промежутке

Все это означает, что в какой-то момент вторая сумма, как функция, "догонит" первую сумму, которая рассматриваеться как функция, и после этого момента вторая сумма будет иметь гарантированно большие значения, чем первая, а это означает, что уравнение имеет только одно решение.

"Угадаем его"!
$7x-1=x^2-9\ 7*8-1=8^8-9\ 56-1=64-9\ 55=55$
$5^{55}+sqrt{55}=5^{55}+sqrt{55}$

Ответ: $8$