Question

Решить любым способом
x+sqrt{x^2-64} =frac{2(x+8)}{(x-8)^2}

Answer 1

$x+sqrt{x^2-64} =frac{2(x+8)}{(x-8)^2} \sqrt{x^2-64}=frac{2(x+8)}{(x-8)^2}-x$
одз:
$x^2-64geq 0 \frac{2(x+8)}{(x-8)^2}-xgeq 0$
решаем:
$x^2-64=(frac{2(x+8)}{(x-8)^2}-x)^2 \x^2-64= (frac{2(x+8)}{(x-8)^2})^2-2x*(frac{2(x+8)}{(x-8)^2})+x^2 \ (frac{2(x+8)}{(x-8)^2})^2- frac{4x(x+8)}{(x-8)^2} +64=0 \4( frac{(x+8)}{(x-8)^2})^2-4x*frac{(x+8)}{(x-8)^2}+64=0 \( frac{(x+8)}{(x-8)^2})^2-x*frac{(x+8)}{(x-8)^2}+16=0 \(x+8)^2-x(x+8)(x-8)^2+16(x-8)^4=0$
раскроем скобки и приведем подобные:
$(x+8)^2-x(x+8)(x-8)^2+16(x-8)^4=x^2+16x+64-\x(x-8)(x^2-64)+16(x-8)(x-8)^3=x^2+16x+64-\(x^2-8x)(x^2-64)+16(x-8)(x^3-24x^2+192x-512)=\=x^2+16x+64-x^4+64x^2+8x^3-512x+16(x^4-24x^3+192x^2-\512x-8x^3+192x^2-1536x+4096)=-x^4+8x^3+65x^2-496x+64\+16 x^4 - 512 x^3 + 6144 x^2 - 32768 x + 65536=\=15 x^4 - 504 x^3 + 6209 x^2 - 33264 x + 65600$
попытаемся разложить левую часть на множители:
$15 x^4 - 504 x^3 + 6209 x^2 - 33264 x + 65600=15x^4-189x^3-315x^3+\600x^2+3969x^2+1640x^2-12600x-20664x+65600=\=(15 x^4 - 189 x^3 + 600 x^2)+(-315 x^3 + 3969 x^2 - 12600 x)+\(1640 x^2 - 20664 x + 65600)=3x^2(5 x^2 - 63 x + 200)-63x\(5 x^2 - 63 x + 200)+328(5 x^2 - 63 x + 200)=\=(3x^2-63x+328)(5x^2-63x+200)$
продолжаем решать уравнение:
$(3x^2-63x+328)(5x^2-63x+200)=0 \5x^2-63x+200=0 \D=63^2-4*5*200 textless 0 \3x^2-63x+328=0 \D=63^2-4*3*328=33 \x_1= frac{63+sqrt{33}}{6} \x_2=frac{63-sqrt{33}}{6}$
проверим на наличие посторонних корней:
$frac{63+sqrt{33}}{6} \sqrt{25} textless sqrt{33} textless sqrt{36} \5 textless sqrt{33} textless 6 \sqrt{33}approx 5,7 \ frac{63+5,7}{6}=11,45 \frac{2(x+8)}{(x-8)^2}-xgeq 0 \ frac{2(11,45+8)}{(11,45-8)^2}-11,45geq 0 \ frac{38,9}{11,9025} -11,45geq 0$
так как $frac{38,9}{11,9025} -11,45 textless 0$, то $x_1= frac{63+sqrt{33}}{6}$ - посторонний корень
$frac{63-sqrt{33}}{6} \sqrt{33}approx 5,7 \frac{63-5,7}{6}=9,55 \ frac{2(9,55+8)}{(9,55-8)^2} -9,55geq 0 \ frac{35,1}{2,4025} -9,55geq 0 \frac{35,1}{2,4025}approx 14,6 \x^2-64geq 0 \9,55^2-64geq 0$
все верно, значит уравнение имеет единственный корень $x=frac{63-sqrt{33}}{6}$
Ответ: $x=frac{63-sqrt{33}}{6}$

Answer 2

Большое вам спасибо