Question

Решить задачу Коши методом вариаций произвольных постоянных: y"-3y'+2y=1/2+e^-x; y(0)=1+2ln2; y'(0)=3ln2

Answer 1

$y''-3y'+2y=frac{1}{2+e^{-x}}\lambda^2-3lambda+2=0\lambda_1=1 ;lambda_2=2\y=C_1e^x+C_2e^{2x}\begin{cases}C_1'(x)e^x+C_2'(x)e^{2x}=0\C_1'(x)e^x+2C_2'(x)e^{2x}=frac{1}{2+e^{-x}}end{cases}\W= left[begin{array}{cc}e^x&e^{2x}\e^{x}&2e^{2x}end{array}right]=e^{3x}\W_1=left[begin{array}{cc}0&e^{2x}\frac{1}{2+e^{-x}}&2e^{2x}end{array}right]=-frac{e^{2x}}{2+e^{-x}}\W_2=left[begin{array}{cc}e^x&0\e^{x}&frac{1}{2+e^{-x}}end{array}right]=frac{e^x}{2+e^{-x}}$

$displaystyle C_1'(x)=frac{W_1}{W}=-frac{e^{2x}}{(2+e^{-x})e^{3x}}=-frac{1}{2e^{x}+1}\C_1(x)=-intfrac{dx}{2e^{x}+1}=-intfrac{(2e^{x}-2e^{x}+1)dx}{2e^x+1}=\-int(1-frac{2e^x}{2e^x+1})dx=ln|2e^x+1|-x+C_1\\\\C_2'(x)=frac{W_2}{W}=frac{e^{x}}{(2+e^{-x})e^{3x}}=frac{1}{2e^{2x}+e^x}}\C_2(x)=intfrac{dx}{e^x(2e^x+1)}=int(frac{1}{e^{x}}-frac{2}{2e^{x}+1})dx=\=-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+C_2\\y=(ln|2e^x+1|-x+C_1)e^x+(-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+C_2)e^{2x}$

$displaystyle y(0)=1+2ln2\2+2ln2-3ln3=C_1+C_2\\y'=e^x(ln|2e^x+1|-x+C_1)+e^x(frac{2e^x}{2e^x+1}-1)+\+2e^{2x}(-e^{-x}+2ln|2e^x+1|-2x+C_2)+\+e^{2x}(e^{-x}+frac{4e^x}{2e^x+1}-2)\\y'(0)=3ln2\2+3ln2-5ln3=C_1+2C_2\\C_2=ln2-2ln3\C_1=2+ln2-ln3\\y=(ln|2e^x+1|-x+2+ln2-ln3)e^x+\+(-e^{-x}+2ln|2e^{x}+1|-2x+ln2-2ln3)e^{2x}$

Answer 2

Добавлю от себя: задача не для университетского уровня; возможны расхождения с "книжным" ответом, в зависимости от раскрытия скобок и приведения подобных переменных.

Answer 3

Посмотрите, пожалуйста, 4 последних вопроса у меня в профиле. Помогите решить, пожалуйста. Срочно надо. Заранее спасибо.