Question

Решить дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные и линейные.

1) (xy-x²)y'-y²=0 (Однородное уравнение)

2) y'=$frac{xy}{x^{2} -y^{2}}$ (Однородное уравнение)

3) xy'-2y=x+1 (Линейное уравнение)

4) y'cos²x+y=tgx (Линейное уравнение)

Answer 1

1) (xy-x²)y'-y²=0
Перед нами однородное уравнение. Проверяется просто. В исходное уравнение вместо х подставляем $lambda x$, вместо у подставляем $lambda y$, производную не трогаем.
$(xy-x^2)y'-y^2 = (lambda x * lambda y - (lambda x)^2)*y' - (lambda y)^2 = \ \ = lambda ^2 ((xy-x^2)y'-y^2) = 0$
Как видим, лямбда сокращается, следовательно дифференциальное уравнение однородное.
Решается уравнение заменой: y(x) = t(x) * x, или сокращённо y = tx. Т.к. функция t(x) зависит от икс, то производная как от сложной функции:
y' = t' * x + t
Вот это и подставляем в исходное уравнение и решаем:
$(xy-x^2)y'-y^2 = 0 \ \ (x*t*x - x^2)*(t'*x+t) -t^2*x^2= 0 \ \ x^2(t-1)*(t'*x+t)=t^2*x^2 \ \ (t-1)*(t'*x+t)=t^2 \ \ t'tx+t^2-t'x-t=t^2 \ \ t'x(t-1) = t \ \ frac{t-1}{t} t' = frac{1}{x} \ \ frac{t-1}{t} dt = frac{dx}{x} \ \ intlimits {frac{t-1}{t} } , dt = intlimits { frac{1}{x} } , dx \ \ intlimits {(1 -frac{1}{t}) } , dt = intlimits { frac{1}{x} } , dx \ \ t - lnt = lnx + lnC \ \ frac{y}{x} - ln frac{y}{x} = lnCx$
Сделали обратную замену t = y/x, а решение лучше оставить в таком виде, как получилось

2. $y' = frac{xy}{x^2-y^2}$
Однородность диффура проверяется аналогично предыдущему. Подстановка тоже аналогична.
$y' = frac{xy}{x^2-y^2} \ \ t'x + t = frac{tx^2}{x^2-t^2x^2} = frac{t}{1-t^2} \ \ t'x + t -frac{t}{1-t^2} = 0 \ \ t'x + frac{t-t^3-t}{1-t^2} =t'x - frac{t^3}{1-t^2} = 0 \ \ t'x = frac{t^3}{1-t^2} :::::::: frac{1-t^2}{t^3} t' = frac{1}{x} \ \ frac{1-t^2}{t^3} dt = frac{dx}{x} \ \ intlimits {frac{1-t^2}{t^3}} , dt = intlimits { frac{1}{x} } , dx \ \ intlimits {(t^{-3}- frac{1}{t})} , dt = intlimits { frac{1}{x} } , dx$
$\ \ - frac{1}{2} t^{-2} -lnt = lnx+lnC \ \ - frac{1}{2} frac{x^2}{y^2} - ln frac{y}{x} = lnCx$


3) xy'-2y=x+1
Линейное уравнение решается подстановкой y(x) = u(x)*v(x), или сокращённо y = u*v. Производная равна y' = u'*v + u*v'.
Делаем замену и решаем.
$xy'-2y=x+1 \ \ y' - frac{2y}{x} = frac{x+1}{x} \ \ u'*v + u*v' - frac{2u*v}{x} =frac{x+1}{x} \ \ u'*v + u*(v' - frac{2v}{x}) =frac{x+1}{x} \ \ \ 1) :: v'- frac{2v}{x} = 0 \ 2) :: u'*v = frac{x+1}{x}$
Составляем систему уравнений (см. выше). Сначала решается первое.
$1) :: v'- frac{2v}{x} = 0 :: : :: v' = frac{2v}{x} \ \ frac{v'}{v} =frac{2}{x} :: : :: frac{dv}{v} = frac{2dx}{x} \ \ intlimits { frac{1}{v} } , dv = intlimits { frac{2}{x} } , dx \ \ lnv = 2lnx :: : :: v = x^2$
Полученное решение подставляем во второе уравнение и решаем его:
$u'*v = frac{x+1}{x} \ \ u'*x^2 =frac{x+1}{x} \ \ u' = frac{1}{x^2} + frac{1}{x^2} \ \ du = (x^{-2}+ x^{-3})dx \ \ intlimits {} , du = intlimits {(x^{-2}+ x^{-3})} , dx \ \ u = - frac{1}{x} - frac{1}{2x^2} +C$
Собираем решения:
$y = u*v = (- frac{1}{x} - frac{1}{2x^2} +C) * x^2 = -x -2 +Cx^2$

$4) :::: y'cos^2x+y = tgx$
Решается аналогично предыдущему.
$y'cos^2x+y = tgx \ \ y' + frac{y}{cos^2x} = frac{tgx}{cos^2x} \ \ u'v+uv'+frac{uv}{cos^2x} = frac{tgx}{cos^2x} \ \ u'v+u(v'+frac{v}{cos^2x}) = frac{tgx}{cos^2x} \ \ \ 1) ::: v'+frac{v}{cos^2x} = 0 \ \ 2) ::: u'v = frac{tgx}{cos^2x} \ \ \ v'+frac{v}{cos^2x} = 0 :::::: v' = - frac{v}{cos^2x} \ \ frac{dv}{v} = - frac{dx}{cos^2x} \ \ lnv = -tgx \ \ v = e^{-tgx} \ \ \ u'v = frac{tgx}{cos^2x} \ \ u'e^{-tgx} = frac{tgx}{cos^2x}$
$u' = e^{tgx} * frac{tgx}{cos^2x} \ \ u = intlimits {e^{tgx}*frac{tgx}{cos^2x}} , dx :::::: [t=tgx; :::::: dt = frac{dx}{cos^2x}] \ \ u = intlimits {e^{t}* t} , dt = e^t *t - intlimits {e^t} , dt = e^t*t - e^t = e^t*(t-1) +C = \ \ \ f = t; :::::: df = dt; :::::: dg = e^t dt; :::::: g = e^t \ \ \ = e^{tgx}(tgx-1) + C$
Собираем решения:
$y = uv = (e^{tgx}(tgx-1) + C) * e^{-tgx} = C*e^{-tgx} + tgx - 1$

22