Question

Вычислите производную функций:
а) y = $-2x^{-2} +1$
б) y = $frac{1}{2} x^{-2}$
в) y = - $frac{2}{x^3}$
г) y = $3x^frac{4}{3}$
д) y =$frac{2}{3} x^frac{1}{3}$
е) y = $frac{1}{2sqrt{x}} + x$
ж) y = $frac{3}{sqrt[3]{x}} + sqrt{x}$
з) y = $frac{1}{sqrt[x]{x}} - 4$

Answer 1

$1); ; y=-2x^{-2}+1; ,; ; ; y'=-2(-2)x^{-3}=frac{4}{x^3}\\2); ; y=frac{1}{2}x^{-2}; ,; ; y'= frac{1}{2}cdot (-2)cdot x^{-3}=-x^{-3}\\3); ; y=-frac{2}{x^3}; ,; ; y'=-frac{-2cdot 3x^2}{x^6}=frac{6}{x^4}; ; ; ; [, (frac{k}{u})'=frac{-kcdot u'}{u^2},; k=const, ]\\4); ; y=3x^{4/3}; ,; ; ; y'=3cdot frac{4}{3}cdot x^{frac{1}{3}}=4sqrt[3]{x}\\5); ; y=frac{2}{3}cdot x^{1/3}; ,; ; y'=frac{2}{3}cdot frac{1}{3}cdot x^{-frac{2}{3}}=frac{2}{9sqrt[3]{x^2}}$

$6); ; y=frac{1}{2sqrt{x}}+x; ,; ; y'=frac{1}{2}cdot (-frac{1}{2})cdot x^{-frac{3}{2}}+1=- frac{1}{4sqrt{x^3}}+1\\7); ; y=frac{3}{sqrt[3]{x}}+sqrt{x}; ,\\y'=3cdot (-frac{1}{3})cdot x^{-frac{4}{3}}+frac{1}{2}cdot x^{-frac{1}{2}}=-frac{1}{sqrt[3]{x^4}}+frac{1}{2sqrt{x}}\\8); ; y=frac{1}{sqrt[x]{x}}-4=x^{1/x}-4\\\y=x^{1/x}; ; to ; ; lny=ln(x^{1/x}); ,; ; Big (lnyBig )'=Big (ln(x^{1/x})Big )'\\frac{y'}{y}=(frac{1}{x}cdot lnx)'; ; to ; ; y'=ycdot (-frac{1}{x^2}cdot lnx+frac{1}{x^2})=x^{1/x}cdot frac{1}{x^2}(1-lnx)$

$Big (frac{1}{sqrt[x]{x}}-4Big )'=x^{frac{1}{x}}cdot frac{1}{x^2}cdot (1-lnx)-0=frac{sqrt[x]{x}}{x^2}cdot lnx$