Question

а) cos2x+3sinx=2. Укажите его наибольшее решение, принадлежащее отрезку [-3П; П].
б) cos2x+2=3cosx. Укажите его наименьшее решение, принадлежащее отрезку [-2,5П; -0,5].

Answer 1

A)
cos2x=1-2sin²x
1-2sin²x+3sinx=2;
2sin²x-3sinx+1=0
D=(-3)²-4·2·1=1
sinx=1/2   ⇒  x=(-1)ⁿarcsin(1/2)+πn, n∈Z ⇒ x=(-1)ⁿ(π/6)+πn, n∈Z 
или
sinx=1  ⇒ x=(π/2)+2πk, k∈Z

Отрезку [-3π;π] принадлежит наибольший корень
х=5π/6

2.
cos2x=2cos²x-1

2cos²x-1+2-3cosx=0
2cos²x-3cosx+1=0
D=9-8=1
cosx=1/2  ⇒  x=±(π/3)+2πn, n∈ Z
или
cosx=1 ⇒   x=2πk, k∈ Z

Отрезку [-2,5π; -0,5] принадлежит  наименьший  корень
х=-(π/3)-2π=-7π/3

Answer 2

Cos2x + 3Sinx = 2
1-2Sin²x + 3Sinx - 2 = 0
2Sin²x - 3Sinx + 1 = 0
Sinx = m , - 1 ≤ m ≤ 1
2m² - 3m + 1 = 0
D = (- 3)² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1
$m_{1}= frac{3+1}{4}=1\\ m_{2} = frac{3-1}{4} = frac{1}{2}\\Sinx=1\\x _{1} = frac{ pi }{2} +2 pi n\\Sinx= frac{1}{2}\\x _{2} = frac{ pi }{6} +2 pi n\\x _{3}= frac{5 pi }{6}+2 pi n$
Наибольшее решение  5π/6 при n = 0

Cos2x + 2 = 3Cosx
2Cos²x - 1 + 2 - 3Cosx = 0
2Cos²x - 3Cosx + 1 = 0
Cosx = m ,   - 1 ≤ m ≤ 1
2m² - 3m + 1 = 0
D = (- 3)² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1
m = 1    и    m = 1/2
Cosx = 1
x₁ = 2πn , n ∈ z
Cosx = 1/2
$x_{2}= frac{ pi }{3}+2 pi n\\ x_{3} =- frac{ pi }{3}+2 pi n$
Наименьшее решение (- 7π/3)