Question

найдите точку минимума функции $y=frac{4}{3} xsqrt{x} -7x+6$

Answer 1

$y= frac{4}{3} cdot x sqrt{x} - 7x + 6.$

Найдем производную y'(x).

$y'(x)=(frac{4}{3} x^{frac{3}{2}} - 7x + 6)'=frac{4}{3}cdot frac{3}{2}cdot x^{frac{3}{2} - 1} - 7 = 2cdot x^{frac{1}{2}} - 7 = 2sqrt{x} - 7.$

Найдем точку x, в которой производная равна нулю.
$2sqrt{x} - 7 =0\ 2sqrt{x}=7\ sqrt{x} = frac{7}{2} \ x = frac{49}{4}$

Согласно достаточному условию минимума: производная в этой точке должна сменить знак с "минуса" на "плюс".
Проверим это. Возьмем точку (x1) левее от точки минимума и точку (x2) правее от неё и посчитаем значения производной в этих точках. $x_1 = 0, x_2 = 16.$
$y'(0) = 2sqrt{0} - 7 = - 7 textless 0.$
$y'(16) = 2sqrt{16} - 7 = 8 - 7 = 1 textgreater 0.$
Действительно, в точке $x = frac{49}{4} = 12.25$ минимум функции.

Ответ: x = 12.25

Answer 2

спасибо!