Question

Вычислите интеграл

$intlimits^ frac{ pi }{2} _ {0} , frac{cosdx}{2sinx+1}$

Answer 1

Заметим, что подынтегральная функция нигде в промежутке$[0,frac{pi}{2}]$ не обращается в бесконечность. То есть подынтегральная функция интегрируема по Риману в данном промежутке.

$cos x,dx=d(sin x)$

$int_0^frac{pi}{2}frac{cos x,dx}{2sin x+1}=int_0^frac{pi}{2}frac{dsin x}{2sin x+1}=$

$=int_0^frac{pi}{2}frac{frac{1}{2}d(2sin x)}{2sin x+1}=frac{1}{2}int_0^frac{pi}{2}frac{d(2sin x)}{2sin x+1}=frac{1}{2}int_0^frac{pi}{2}frac{d(2sin x+1)}{2sin x+1}=$

Можно заметить, что подынтегральная функция теперь имеет вид:
$intfrac{dt}{t}=ln|t|$
Получается, что
$=frac{1}{2}ln(2sin x+1)|_0^frac{pi}{2}=frac{1}{2}(ln|2sinfrac{pi}{2}+1|-ln|2sin 0+1|)=$

$=frac{1}{2}(ln|3|-ln|1|)=frac{ln 3}{2}$

Ответ: $frac{ln 3}{2}$