Question

Помогите, нужно подробное решение

Answer 1

избавимся от степени
$= lim_{n to infty} e^{ln ( frac{x+3}{x-2} )^{2x+1}}= \ \ =e^{ lim_{n to infty} ln ( frac{x+3}{x-2} )^{2x+1}}= \ \ =e^{ lim_{n to infty} ((2x+1)ln ( frac{x+3}{x-2} ))}=$
под пределом получили неопределенность 0*∞ , преобразуем в 0/0 и применим несколько раз правило Бернулли-Лопиталя
$=e^{ lim_{n to infty} ( frac{1}{ frac{1}{2x+1} } ln ( frac{x+3}{x-2} ))}= \ \ =e^{ lim_{n to infty} ( frac{ ln ( frac{x+3}{x-2} )}{ frac{1}{2x+1} })}= \ \ =e^{ lim_{n to infty} frac{ (ln ( frac{x+3}{x-2} ))'}{( frac{1}{2x+1})' }}= (*)\ \ (ln ( frac{x+3}{x-2} ))'= frac{x-2}{x+3}* ( frac{x+3}{x-2} )'= frac{x-2}{x+3}* frac{(x-2)-(x+3)}{(x-2)^{2}} =- frac{5}{(x-2)(x+3)} ; \ \ ((2x+1)^{-1})'=-(2x+1)^{-2}*(2x+1)'= -frac{2}{(2x+1)^{2}}$
$(*)=e^{ lim_{n to infty} frac{ frac{5}{(x-2)(x+3)} }{ frac{2}{(2x+1)^{2}} }}= \ \ =e^{ lim_{n to infty} frac{5(2x+1)^{2}}{2(x-2)(x+3)} }= \ \ =e^{ lim_{n to infty} frac{5(4 x^{2} +4x+1)}{2(x^{2}+x-6)} }= \ \ =e^{ lim_{n to infty} frac{(5(4 x^{2} +4x+1))'}{(2(x^{2}+x-6))'} }= \ \ =e^{ lim_{n to infty} frac{5(8 x +4)}{2(2x+1)} }= \ \ =e^{ lim_{n to infty} frac{5(8 x +4)'}{2(2x+1)'} }= \ \ =e^{ lim_{n to infty} frac{5*8}{2*2} }=$
$=e^{ lim_{n to infty} frac{40}{4}}= \ \ =e^ lim_{n to infty} 10=$
$=e^{10}$