Question

2. Найдите наименьшее натуральное N, такое, что 59! не кратно N.

5. Дан квадратный трехчлен P(x) = x² – 1001x + 1. Найдите сумму действительных
корней уравнения P(P(x))=0.

Answer 1

 2)  59!  можно разложить на простые   59!= 2^47 * 3^27 * 5^13 * 7^9 * 11^5 * 13^4 * 17^3 * 19^3 * 23^2 * 29^2 * 31 * 37 * 41 * 53 * 59  наименьшее кратный делитель будет следующее простое число, то есть N=61. 

 5)  P(x)=x^2-1001x+1  
 P(P(x))=0  
 P(P(x))=(x^2-1001x+1)^2-1001(x^2-1001x+1)+1        
 P(P(x))=f(x) 
 f ' (x) = 2(x^2-1001x+1)*(2x-1001) - 1001*(2x-1001) = 0 
 f ' (x) = 0 
 (2x-1001)(2x^2-2002x-999)=0 
 x=1001/2 
 x=(1001+/-√1003999)/2 
Откуда получаем что функция
возрастает на интервале 
 ( (1001-√1003999)/2 , 1001/2) U ( (1001+√1003999)/2 , +oo) 
убывает на интервале 
 ( -oo, (1001-√1003999)/2 )  U ( 1001/2 , (1001+√1003999)/2 )  

Производная в точке x0=(1001-√1003999)/2) слева на право от нее меняется знак с (-) на (+),  в точке x0=(1001+√1003999)/2 слева на право меняется знак с (-) на (+), 
 значит в этих двух точках функция имеет минимум, который при подстановке в функцию, примет значение f(x0)<0.
 
Так как данное уравнение, уравнение четвертой степени, то максимальное количество корней она имеет 4 , из исследования монотонности функции , получаем что f(x) имеет ровна 4 различных вещественных корня. 
 
По теореме Виета для четвертой степени , сумма всех корней равна отношению коэффициентов перед x^3 и x^4 
 Значит надо рассмотреть только одну скобку   
 (x^2-1001x+1)^2 = x^4-2002x^3+Q(x)  
 x1,x2,x3,x4 корни уравнения f(x)
 Откуда x1+x2+x3+x4=-(-2002/1)=2002.