Question

найдите наибольшее значение функции:
y=|x-2|+2x-3x^2

Answer 1

Найдите наибольшее значение функции:
y=|x-2|+2x-3x²

Решение
По определению модуля
$|x-2|= left { {{x-2 ,;eclu;x-2 geq 0} atop {2-x, ;eclu ; x-2 textless 0}} right.$
Поэтому можно записать
$y= left { {{3x-2-3x^2 ,;eclu;xgeq 2} atop {2+x-3x^2, ;eclu ; x textless 2}} right.$
Определим производный кусочно заданной функции
При х ≥ 2
y' = (3x - 2 - 3x²)' = 3 - 6x
При х ≥ 2 производная на интервале [2;+∞) будет отрицательной y'<0.
Следовательно функция
                                 y=|x-2|+2x-3x²
на интервале [2;+∞)  убывает.
Найдем производную на интервале (-∞;2)
y' = (2 + x - 3x²)' = 1 - 6x
Найдем критическую точку приравняв производную к нулю.
           y' = 0  ⇔ 1 - 6x = 0
                                 x =`1/6
На числовой прямой отобразим эту точку и определим знаки производной
                  +     0         -
---------------------!----------------!
                         1/6               2
На интервале (-∞;1/6] производная больше нуля и функция возрастает.
На интервале [1/6;2] производная меньше нуля и функция убывает.
В точке х=1/6 функция имеет максимум.
$y( frac{1}{6} )=2+ frac{1}{6} -3*( frac{1}{6} )^2=2+ frac{1}{6} - frac{1}{12}= frac{24+2-1}{12}= frac{25}{12}=2 frac{1}{12}$

Ответ: ymax = y(1/6) = 25/12