Question

$log_{log^{ sqrt{3}} _{2x}(20)}(log^5_4(x))-log_{log^{log_2( sqrt[9]{4}) _{2x}(20)}}(log^{log^{-log_4( sqrt[3]{8} )}_2( sqrt{8} )}_{ sqrt[5]{4}} (16))=0$
С подробным решением

Answer 1

исходное уравнение:  
$displaystylemathtt{log_{[log_{2x}20]^{sqrt{3}}}(log_4x)^5-log_{[log_{2x}20]^{log_2sqrt[9]{4}}}(log_{sqrt[5]{4}}16)^{(log_2sqrt{8})^{-log_4sqrt[3]{8}}}=0}$

ОДЗ: $displaystylemathtt{left{{{left{{{x textgreater 0}atop{log_4x textgreater 0}}right}atop{left{{{2xneq1}atop{log_{2x}20neq1}}right}}righttoleft{{{left{{{x textgreater 0}atop{x textgreater 4}}right}atop{left{{{xneqfrac{1}{2}}atop{xneq10}}right}}rightto~xin(4;10)U(10;+infty)}$

решим уравнение, предварительно упростив вычитаемое (1) с уменьшаемым (2)

$mathtt{(1)~log_{[log_{2x}20]^{log_2sqrt[9]{4}}}(log_{sqrt[5]{4}}16)^{(log_2sqrt{8})^{-log_4sqrt[3]{8}}}=}\mathtt{log_{[log_{2x}20]^{log_22^{frac{2}{9}}}}(log_{2^{frac{2}{5}}}2^4)^{(log_22^{frac{3}{2}})^{-log_42}}=}\mathtt{log_{[log_{2x}20]^{frac{2}{9}}}(frac{5}{2}*4log_22)^{(frac{3}{2}log_22)^{-frac{1}{2}}}=log_{[log_{2x}20]^{frac{2}{9}}}10^{frac{3}{2}^{-frac{1}{2}}}=\}$$mathtt{frac{9}{2}*frac{sqrt{6}}{3}log_{log_{2x}20}10=frac{3sqrt{6}}{2}log_{log_{2x}20}10}$

$mathtt{(2)~log_{[log_{2x}20]^{sqrt{3}}}(log_4x)^5=frac{5}{sqrt{3}}log_{log_{2x}20}log_4x=frac{5sqrt{3}}{3}log_{log_{2x}20}log_4x}$

перепишем то, что получилось: $mathtt{frac{5sqrt{3}}{3}log_{log_{2x}20}log_4x-frac{3sqrt{6}}{2}log_{log_{2x}20}10=0}$

домножив обе части уравнения на $mathtt{2sqrt{3}}$, получаем, что $mathtt{10log_{log_{2x}20}log_4x-9sqrt{2}log_{log_{2x}20}10=0}$

разложив разность логарифмов на частное их показателей, получаем $mathtt{log_{log_{2x}20}frac{log_4^{10}x}{10^{9sqrt{2}}}=0}$, из чего следует, что $mathtt{log_4^{10}x=10^{9sqrt{2}}}$

$mathtt{log_4x=бsqrt[10]{10^{9sqrt{2}}};~left[begin{array}{ccc}mathtt{x_1=4^{-sqrt[10]{10^{9sqrt{2}}}}}\mathtt{x_2=4^{sqrt[10]{10^{9sqrt{2}}}}}end{array}right}$

первый корень меньше четырёх, поэтому является ложным, осталось только доказать, что второй корень удовлетворяет ОДЗ

$mathtt{4^{sqrt[10]{10^{9sqrt{2}}}} textgreater 4=4^1;~sqrt[10]{10^{9sqrt{2}}} textgreater 1;~10^{9sqrt{2}} textgreater 1=10^0;~9sqrt{2} textgreater 0}$

ОТВЕТ: $mathtt{x=4^{sqrt[10]{10^{9sqrt{2}}}}}$

Answer 2

спасибо, я сам сомневался в правильности ответа, учусь лишь в 9 классе, про помарки вообще думать не смел – решал в своё удовольствие, затратив чуть более получаса

Answer 3

А разве логарифмы проходят в 9 классе?

Answer 4

Нет. Они изучаются в первом семестре 10 класса

Answer 5

Наверное много времени остаётся после подготовки к ОГЭ

Answer 6

я их ещё в 8 классе прошёл, просто увлекаюсь и от скуки реша