Question

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка и частное решение, удовлетворяющее начальному условиям: y``+y`=e^-x, y(0)=y`(0)=1

Answer 1

$y''+y'=e^{-x} \ y=e^{kx} \ k^2e^{kx}+ke^{kx}=0 \ e^{kx}(k^2+k)=0 \ k(k+1)=0 \ y=C_1+C_2e^{-x} \ y^*=Axe^{-x} \ y^*'=Ae^{-x}-Axe^{-x}=Ae^{-x}(1-x) \ y^*''=-Ae^{-x}(1-x)-Ae^{-x}=-Ae^{-x}(1-x+1)=Ae^{-x}(x-2) \ Ae^{-x}(x-2)+Ae^{-x}(1-x)=e^{-x} \ Ae^{-x}(x-2+1-x)=e^{-x} \ Ae^{-x}*(-1)=e^{-x} \ -A=1 \ A=-1 \\ y^*=-xe^{-x} \ Y=C_1+C_2e^{-x}-xe^{-x}$

$\\ left { {{y=C_1+C_2e^{-x}-xe^{-x}} atop {y'=-C_2e^{-x}-e^{-x}+xe^{-x}}} right. \ left { {{y=C_1+C_2e^{-0}-0*e^{-0}=1} atop {y'=-C_2e^{-0}-e^{-0}+0*e^{-0}=1}} right. \ left { {{C_1+C_2=1} atop {-C_2-1=1}} right. \ left { {{C_1+C_2=1} atop {C_2=-2} right. \ left { {{C_1=3} atop {C_2=-2} right. \ Y=3+-2e^{-x}-xe^{-x}$