Question

Всем привет! Помогите решить пределы, пожалуйста!
Буду признателен за каждый решённый пример.

Answer 1

4)
$lim_{n to infty} sqrt{n+5}- sqrt{n+1} = \ \ lim_{n to infty} frac{(sqrt{n+5}- sqrt{n+1})*(sqrt{n+5}+ sqrt{n+1} ) }{sqrt{n+5}+ sqrt{n+1} } = \ \ lim_{n to infty} frac{(n+5)- (n+1) }{sqrt{n+5}+ sqrt{n+1} } = \ \ lim_{n to infty} frac{n+5- n-1 }{sqrt{n+5}+ sqrt{n+1} } = \ \ lim_{n to infty} frac{4 }{sqrt{n+5}+ sqrt{n+1} } = frac{4}{infty} =0$
5)
$lim_{n to infty} (frac{n-1}{n+2} )^{4n}= \ \ lim_{n to infty} e^{ln((frac{n-1}{n+2} )^{4n})}= \ \ e^{ lim_{n to infty} ln( (frac{n-1}{n+2} )^{4n})}= \ \ e^{ lim_{n to infty} (4n)*ln( frac{n-1}{n+2} )}= \ \ e^{ lim_{n to infty} ( frac{1}{ frac{1}{4n} } )*ln( frac{n-1}{n+2} )}= \ \ e^{ lim_{n to infty} ( frac{ln( frac{n-1}{n+2} )}{ frac{1}{4n} } )}= \ \ e^{ lim_{n to infty} ( frac{(ln( frac{n-1}{n+2} ))'}{ (frac{1}{4n})' } )}=$
$e^{ lim_{n to infty} frac{( frac{n+2}{n-1})( frac{n-1}{n+2} )'}{ -frac{(4n)'}{(4n)^{2}} } }= \ \ e^{ lim_{n to infty} frac{( frac{n+2}{n-1})( frac{(n+2)-(n-1)}{(n+2)^{2}} }{ -frac{4}{4*4n^{2}} } }= \ \ e^{ lim_{n to infty} frac{ frac{3}{(n-1)(n+2)} }{ -frac{1}{4n^{2}} } }= \ \ e^{ lim_{n to infty} - frac{3*4 n^{2}}{n^{2}+n-2}} = \ \ e^{-12*{ lim_{n to infty} frac{n^{2}}{n^{2}+n-2} }}=$
$e^{-12*{ lim_{n to infty} frac{(n^{2})'}{(n^{2}+n-2)'} }}= \ \ e^{-12{ lim_{n to infty} frac{(2n)}{(2n+1)} }}= \ \ e^{-12{ lim_{n to infty} frac{(2n)'}{(2n+1)'} }}= \ \ e^{-12{ lim_{n to infty} frac{2}{2} }}= \ \ e^{-12{ lim_{n to infty} 1 }}= e^{-12 }}$

Answer 2

Спасибо. 7, 8 можете помочь сделать?