Question

Помогите пожалуйста
ПРОИНТЕГРИРОВАТЬ
8) ∫ dx/1+sinx+cosx
заранее спасибо

Answer 1

Как Вам было сказано:
делаем универсальную тригонометрическую подстановку:
$t=tg frac{x}{2}; dx= frac{2dt}{1+ t^{2} } ; sinx= frac{2t}{1+ t^{2} } ;cosx= frac{1- t^{2}}{1+t^{2}} ;$
Интеграл тогда принимает вид:
$int frac{ frac{2dt}{1+t^{2}} }{1+ frac{2t}{1+ t^{2} }+frac{1- t^{2}}{1+t^{2}}} = int frac{2dt} {(1+t^{2})+2t+(1- t^{2})} = int frac{2dt} {1+t^{2}+2t+1- t^{2}}= \ int frac{2dt} {2+2t}= int frac{dt} {1+t}= int frac{d(1+t)} {1+t}= ln(1+t)+C$
и возвращаемся к х:
$=ln(1+tg frac{x}{2} )+C=ln(1+ frac{sinx}{1+cosx})+C= \ =ln( frac{1+sinx+cos}{1+cosx})+C= \ =ln(C* frac{1+sinx+cos}{1+cosx})$