Question

Помогите, пожалуйста! 80 баллов.
Решить дифференциальные уравнения и определить их типы.
1. ху'/у ln y=x^2 при у(0)=е

2. ху'=у+✓у^2+х^2

3. х^2у'-ху=1+х

Answer 1

$1); ; frac{xcdot y'}{ycdot lny}=x^2; ,; ; frac{dy}{dxcdot ycdot lny}=frac{x^2}{x}; ,; ; int frac{dy}{ycdot lny}=int x, dx\\intfrac{d(lny)}{lny}=int x, dx; ; ; [; d(lny)=(lny)'dy=frac{dy}{y}; ]\\ln|lny|=frac{x^2}{2}+C\\y(0)=e:; ; ln|lne|=C; ,; ln1=C; ,; ; C=0\\Otvet:; ; ln|lny|=frac{x^2}{2}+0; .$

$2); ; xy'=y+sqrt{y^2+x^2}; |:xne 0\\y'=frac{y}{x}+frac{sqrt{y^2+x^2}}{x}; ,; ; y'=frac{y}{x}+sqrt{frac{y^2+1}{x^2}}; ,; ; y'=frac{y}{x}+sqrt{frac{y^2}{x^2}+1}\\t=frac{y}{x}; ,; ; y=tx; ,; ; y'=t'x+t\\t'x+t=t+sqrt{t^2+1}; ,; ; t'x=sqrt{t^2+1}; ,; frac{dt}{dx}=frac{sqrt{t^2+1}}{x} \\int frac{dt}{sqrt{t^2+1}}=int frac{dx}{x} \\ln|t+sqrt{t^2+1}|=ln|x|+lnC; ; to \\frac{y}{x}+sqrt{frac{y^2}{x^2}+1}=Cx$

$3); ; x^2y'-xy=1+x; |:x^2ne 0\\y- frac{y}{x} =frac{1+x}{x^2}; ,; ; y=uv; ,; ; y'=u'v+uv'\\u'v+uv'-frac{uv}{x}=frac{1+x}{x^2}\\u'v+uunderbrace {(v'-frac{v}{x})}_{=0}=frac{1+x}{x^2}\\a); ; frac{dv}{dx}=frac{v}{x}; ,; ; int frac{dv}{v}=int frac{dx}{x} ; ,; ; ln|v|=ln|x|; ; to ; ; v=x\\b); ; u'cdot v=frac{1+x}{x^2}; ,; ; frac{du}{dx}cdot x=frac{1+x}{x^2} ; ,; ; int du=int frac{1+x}{x^3}dx\\int du=int (frac{1}{x^3}+frac{1}{x^2})dx$

$u=frac{x^{-4}}{-4}+frac{x^{-3}}{-3}+C=-frac{1}{4x^4}-frac{1}{3x^3}+C\\c); ; y=uv=xcdot (-frac{1}{4x^4}-frac{1}{3x^3}+C)$