Question

1.    
В начале игры в каждой клетке полоски из 2014 клеток стоит
фишка одного из 1007 цветов, каждый цвет встречается ровно у двух фишек.
Ход заключается в том, что все фишки сдвигаются на клетку вправо, а
если фишка уже стоит в самой правой клетке, то её сдвигают на две
клетки обратно. Между ходами можно снять с доски пару одноцветных фишек,
если они попали в одну клетку. Докажите, что игра будет длиться
бесконечно.

Answer 1

2 последние фишки одного цвета образуют бесконечный цикл – не могут быть убраны.