Question

На доске написали квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом. Каждую минуту на доске дописывают квадратный трехчлен, причём у каждого следующего трехчлена все три коэффициента на 1 больше соответствующих коэффициентов предыдущего. Докажите, что когда-нибудь на доске появится трехчлен, не имеющий корней.

Answer 1

Был трехчлен ax^2 + bx + c = 0, a>0.
У него было 2 корня, то есть
D0 = b^2 - 4ac > 0
Его n раз переписали, стал
(a+n)*x^2 + (b+n)*x + (c+n) = 0
D1 = (b+n)^2 - 4(a+n)(c+n) =
= b^2+2bn+n^2-4ac-4cn-4an-4n^2 =
= (b^2-4ac) + (2bn-4an-4cn) - 3n^2 =
= D0 + 2n(b-2a-2c) - 3n^2
По сути это квадратный трехчлен от n, со старшим коэффициентом -3<0.
При каком-то n его значение станет отрицательным, независимо от a, b и c.