Question

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а высота пирамиды равна 12см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

Итак, данная пирамида изображена на прикреплённом рисунке. Чтобы высчитать площадь полной нужно сложить площадь основания и площади треугольников. Чтобы найти площадь боковых треугольников, нужно основание разделить на косинус угла (PMO). Так как боковые треугольники равны между собой, мы можем найти площадь одного из них и потом просто увеличить её в три раза.
Высота SO падает на пересечение медиан. Точка делит все медианы в отношении 2:1 начиная от вершины.
СH(медиана)=$sqrt{6^2-3^2} = sqrt{36-9}= sqrt{27} =3 sqrt{3}$
Отрезок OM=$3 sqrt{3}*(1/3)= sqrt{3}$
SM= sqrt{144+3}= sqrt{147}[/tex]
сos(PMO)=$frac{OM}{SM}= frac{ sqrt{3}}{ sqrt{147}} = sqrt{ frac{1}{49} }$
По формуле Герона: Sосн=$sqrt{9*3*3*3} =9 sqrt{3}$
Площадь боковых треугольников: Sбок=Sосн/cos(PMO)=$frac{9 sqrt{3}}{ sqrt{ frac{1}{49}}} =9 sqrt{147}$
Sполн=Sосн+Sбок=9($sqrt{3} + sqrt{147}$)

Answer 2

В основании пирамиды лежит правильный треугольник ABC со стороной равной 6см.

S(осн.)=$S_{ABC}=dfrac{AB^2sqrt3}{4} =dfrac{36sqrt3}{4}$ =9√3 см².

Высота правильной пирамиды падает в центр основания. Поэтому если DH высота пирамиды, а DM - апофема, то MH - радиус вписанной окружности в правильный треугольник. Т.к. по теореме о 3ёх перпендикулярах HM⊥AC.

$HM=dfrac{ABsqrt3}{6} =dfrac{6sqrt3}{6}$ =√3 см

В прямоугольном ΔDHM (∠H=90°) найдём гипотенузу DM по теореме Пифагора.

$DM=sqrt{12^2+sqrt3 ^2} =sqrt{144+3}$ =√147 см

Боковые грани правильной пирамиды это равные треугольники.

S(бок.)=$3cdot S_{ADC} =3cdot DMcdot ACcdot dfrac12 =dfrac32 cdot 6cdot sqrt{147}$ =9√147 см²

S(полн.) = S(осн.)+S(бок.) = 9√3 + 9√147 см²

Ответ: 9√3 + 9√147 см².