Question

Решите плиз ( в развернутом виде)

Answer 1

task/28559397
-------------------
task/28559397
--------------------
1.
Функция F(x)  является первообразной для функции f(x) , если F'(x) =f(x)
а)
F ' (x) =(x³+4x² -5x+7) ' =(x³)' +(4x²)' -(5x) '+(7) ' =3x² +4*(x²)' -5*(x) '+0 =
3x² +4*2x  -5*1 =3x² +8x - 5  = f(x) .   x∈R
---
б)
F ' (x) =(3x⁴- lnx) ' =(3x⁴)' - (lnx) '=3*(x⁴)' -1/x =3*4*x³-1/x ==12x³ -1/x = f(x)
при x >0 
--------------------
2.
Найдите первообразную для функции :
а)
f(x) = 2/x³ +cosx , x≠0
F(x) = ∫ f(x)dx = ∫(2/x³ +cosx)dx = ∫(2/x³)dx + ∫cosxdx =2∫x⁻³ dx +sinx +C =
=2*x⁻² / (-3+1  +sinx +C  = - 1/x² +sinx +C .
---
б)
f(x) = 3eˣ , x ∈ R
F(x) = ∫ f(x)dx = ∫3eˣdx = 3∫eˣdx= 3eˣ +C.
--------------------
3.
Найдите ту первообразную F(x)  для функции f(x) =3x²+4x  , график которой проходит через точку A( 1 ;5).
F(x) = ∫ f(x)dx = ∫(3x²+4x)dx  = x³ +2x² +C
т.к. F(x) проходит через точку  A( 1 ;5) , то  F(1)= 5, следовательно 
5 =1³ +2*1² +C ⇒ С =2 .

ответ : F(x) = x³ +2x² +2 .
--------------------
4.
Вычислить  площадь фигуры , ограниченной линиями y =x² и y =9.
---   
Точки пересечения графиков функций  
y =x² (парабола) и y =9  (прямая || оси абсцисс_ OX)  :
x² =9 ⇔ x =±3 .
         ³                ³
S =   ∫ x²dx =x³ |     =3³  -(-3)³ =27 -(-27) = 54 кв. единиц
       -₃              -₃ 
ответ : 54 кв. единиц.