Question

Сколько существует различных наборов {a,b,c,d} из четырёх натуральных чисел таких, что
a>b>c>d,
a+b+c+d=20,
a2−b2+c2−d2=20?
Все указанные условия должны выполняться одновременно.

Answer 1

Заметим, что a ≥ 7 (в противном случае сумма a + b + c + d была бы не больше, чем 6 + 5 + 4 + 3 = 18). Кроме того, поскольку c + d ≥ 1 + 2 = 3, то a + b ≤ 20 - 3 = 17.

Предположим, a - b ≥ 2. Тогда 
$20=a^2-b^2+c^2-d^2 textgreater a^2-(a-2)^2=4a-4geqslant 4cdot7-4=24$
Получилось неверное неравенство 20 > 24, поэтому предположение неверно, тогда a = b + 1, b ≥ 6. Значит, a + b = 2b + 1 ≤ 17, откуда b ≤ 8.

1) b = 6, a = 7. Подставляем в равенства:
c + d = 7
c^2 - d^2 = 7

Раскладываем левую часть второго уравнения на множители и подставляем значение суммы:
c + d = 7
(c - d)(c + d) = 7(c - d) = 7

c + d = 7
c - d = 1

Складываем и вычитаем уравнения:
2с = 8
2d = 6

c = 4
d = 3

(a, b, c, d) = (7, 6, 4, 3)

2) b = 7, a = 8. Аналогично:
c + d = 5
c^2 - d^2 = 5

c + d = 5
c - d = 1

(a, b, c, d) = (8, 7, 3, 2)

3) b = 8, a = 9
c + d = 3
c^2 - d^2 = 3

c + d = 3
c - d = 1

(a, b, c, d) = (9, 8, 2, 1)

Ответ: 3 набора.