Question

Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объём продукции второго завода в полтора раза превосходит объём первого. Доля брака у первого завода 18%, а у второго- 8%. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и пустили в продажу. Найти вероятность покупки бракованного изделия. Какова вероятность, что купленное бракованное изделие изготовлено на первом заводе?

Answer 1

Данная задача решается с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Построим гипотезы:
H1 - изделие изготовлено на первом заводе.
H2 - изделие изготовлено на втором заводе.

Нам важно, чтобы изделие было бракованным, поэтому интересующий нас исход A - выбранное изделие браковано.

Т.к. по условию объём продукции на втором заводе в 1,5 раза превышает объём продукции на первом, то получаем следующее:
V2 = 1,5*V1
V = V1 + V2 = V1 + 1,5*V1 = 2,5V1

Мы нашли общий объём продукции, поэтому теперь легко можем найти P(H1) и P(H2) - вероятность того, что выбранное изделие изготовлено на первом заводе, и вероятность того, что оно изготовлено на втором заводе, соответственно:
P(H1) = V1 / 2,5*V1 = 0,4
P(H2) = 1 - 0,4 = 0,6 (т.к. других вариантов нет, то можно вычислять так, а не делить 1,5*V1 на 2,5*V1)

P(A|H1) - вероятность того, что выбранное изделие от первого поставщика имеет брак - нам дана, как и вероятность P(A|H2):
P(A|H1) = 0,18
P(A|H2) = 0,08

Тогда можно найти полную вероятность брака P(A) по формуле:
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) = 0,4*0,18 + 0,6*0,08 = 0,12

По формуле Байеса находим вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на первом заводе:
P(H1|A) = P(H1)*P(A|H1)/P(A) = 0,4*0,18/0,12 = 0,006