Question

1/2+1/(2+4)+1/(2+4+6)+...+1/(2+4+6+8+...+24)=?

Answer 1

$frac{1}{2}+ frac{1}{2+4} + frac{1}{2+4+6} +...+ frac{1}{2+4+6+8+...+24} =$посчитаем знаменатели (для последнего слагаемого применим формулу суммы арифметической прогрессии)
$frac{1}{2}+ frac{1}{6} + frac{1}{12}+ frac{1}{20} +...+ frac{1}{156} =$
становится видно, что знаменатели представляют собой произведение двух последовательных натуральных чисел
$frac{1}{1*2} + frac{1}{2*3} + frac{1}{3*4}+ frac{1}{4*5} +...+ frac{1}{12*13} =$
представим дроби, начиная со второй, в виде разницы двух дробей со знаменателями-множителями
$frac{1}{2} +( frac{1}{2}- frac{1}{3} )+( frac{1}{3} - frac{1}{4})+...+( frac{1}{12} - frac{1}{13})=$
при раскрытии скобочек многие слагаемые взаимоуничтожатся, и останется
$frac{1}{2}+ frac{1}{2}- frac{1}{13}=1- frac{1}{13} = frac{12}{13} .$