Найдите минимум функции f(x,y,z,t)=(x-y)^2+(z-t)^2 при условии
(x-2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2+(t-4)^2=1.
Выберите верный ответ.
1)5-2√6
2)5+2√6
3)12+4√5
4)2-4√5
Ответы
Ответ дал:
0
Посмотрим на задачу с точки зрения геометрии. Пусть есть точки A = (2, 1), B = (3, 4), L = (x, z) и M = (y, t). Тогда
– квадрат длины отрезка AL,
– квадрат длины отрезка BM,
– квадрат длины отрезка LM.
Заметим, что
. Поскольку по условию
, то AL, BM < 1, и минимальное значение LM (а значит, и
) будет достигаться тогда, когда L и M лежат на отрезке AB.
Обозначим AL = u, тогда
, AL + BM = v.
будет минимально, когда v (и
) будет максимально.
![v^2 = (u + sqrt{1 - u^2})^2 = 1 + 2sqrt{u^2(1-u^2)} v^2 = (u + sqrt{1 - u^2})^2 = 1 + 2sqrt{u^2(1-u^2)}](https://tex.z-dn.net/?f=v%5E2+%3D+%28u+%2B+sqrt%7B1+-+u%5E2%7D%29%5E2+%3D+1+%2B+2sqrt%7Bu%5E2%281-u%5E2%29%7D)
Под корнем стоит квадратный трёхчлен относительно
, его максимум достигается в вершине, когда
, при этом
достигает максимального значения 2, поэтому максимальное значение v равно ![sqrt2 sqrt2](https://tex.z-dn.net/?f=sqrt2)
Тогда минимальное значение
равно:
![LM^2=(sqrt{10}-sqrt2)^2=10-2sqrt{10cdot2}+2=12-4sqrt5 LM^2=(sqrt{10}-sqrt2)^2=10-2sqrt{10cdot2}+2=12-4sqrt5](https://tex.z-dn.net/?f=LM%5E2%3D%28sqrt%7B10%7D-sqrt2%29%5E2%3D10-2sqrt%7B10cdot2%7D%2B2%3D12-4sqrt5)
Заметим, что
Обозначим AL = u, тогда
Под корнем стоит квадратный трёхчлен относительно
Тогда минимальное значение
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/cd7/cd73444e13a63a19b7afe7d918740407.png)
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
8 лет назад
8 лет назад
8 лет назад
8 лет назад