Question

Найдите сумму:
$displaystyle tg^2 frac{x}{2}+ tg^2 frac{y}{2}+ tg^2 frac{z}{2},$
если:
$displaystyle cosx= frac{a}{b+c}, cosy= frac{b}{c+a}, cosz= frac{c}{a+b}, a+b+cneq 0$

Answer 1

Long time no see! Пользуюсь онли формулами приведения!
$displaystyle tg^2( frac{x}{2}) + tg^2( frac{y}{2}) + tg^2( frac{z}{2}) \ \ 1. : : tg^2( frac{x}{2}) = frac{sin^2( frac{x}{2}) }{cos^2( frac{x}{2}) } = frac{ (pmsqrt{ frac{1-cos(x)}{2} })^2 }{(pmsqrt{ frac{1+cos(x)}{2} })^2} = frac{1-cos(x)}{1+cos(x)} = frac{1- frac{a}{b+c} }{1+frac{a}{b+c}} = ... \ \ ...= frac{frac{b+c-a}{b+c}}{frac{b+c+a}{b+c}} = frac{b+c-a}{b+c+a}$
По аналогии с пунктом 1:
$displaystyle 2. : : tg^2( frac{y}{2}) = frac{1-cos(y)}{1+cos(y)} = frac{1 - frac{b}{c+a} }{1+frac{b}{c+a}} = frac{c+a-b}{c+a+b} \ \ 3. : : tg^2( frac{z}{2}) = frac{1-cos(z)}{1+cos(z)} = frac{1 - frac{c}{a+b} }{1+frac{c}{a+b}} = frac{a+b-c}{a+b+c}$
В итоге имеем:
$displaystyle tg^2( frac{x}{2}) + tg^2( frac{y}{2}) + tg^2( frac{z}{2}) = frac{b+c-a}{b+c+a} + frac{c+a-b}{c+a+b} + frac{a+b-c}{a+b+c} = ... \ \ ...= frac{2a-a + 2b-b +2c-c}{a+b+c} = frac{a+b+c}{a+b+c} = 1$
Вроде так :D

Answer 2

Сказать, что long time no see - значит ничего не сказать :D спасибо, Толя)

Answer 3

Не за что, Элен. Хорошие были деньки)