Question

Решить интеграл методом замены переменной

Answer 1

Подставим:

$displaystyle t= arctan x ,, dt= frac{dx}{1+x^2}\\ int { frac{1}{arctan x+4}cdot frac{1}{1+x^2} } , dx = int { frac{1}{t+4}} , dt =ln (t+4)+C=\\=ln(arctan x +4)+C$

Последний интеграл находится тоже через подстановку:
$displaystyle u=t+4 ,, du =dt\\int { frac{1}{t+4}} , dt = int { frac{1}{u}} , du=ln |u|+C=ln u+C$

Однако из-за того что $-pi/2 textless t textless pi/2$ выполняется $t+4 textgreater 0$, поэтому мы опустили знак модуля.