Question

20 баллов
Решить систему уравнений
х^2-5ху+4у^2=0
2х^2-у^2=31

Answer 1

x² - 5xy + 4y² = 0
2x² - y² = 31
Рассмотрим первое уравнение системы:
x² - 5xy + 4y² = 0
x² - 2xy + y² - 3xy + 3y² = 0
(x - y)² - 3xy + 3y² =0
(x - y)² - 3y(x - y) = 0
(x - y)((x - y) - 3y) = 0
(x - y)(x - 4y) = 0
x - y = 0 => x = y
x - 4y = 0 => x = 4y
Подставим эти значения x во второе
уравнение системы:
2x² - y² = 31
При x = y получим
2x² - x² = 31 => x² = 31 => x = ±√31
Получаем следующие корни: x₁ = -√31, y₁ = -√31,
x₂ = √31, y₂ = √31
При x = 4y получим
2*(4y)² - y² = 31
32y² - y² = 31
31y² = 31 => y² = 1 => y = ±1
Получаем следующие корни: x₃ = -4, y₃ = -1,
x₄ = 4, y₄ = 1.
Проверкой убеждаемся, что все 4 корня
удовлетворяют системе уравнений.

Ответ: (-√31, -√31);  (√31, √31);
 (-4, -1);  (4, 1).