Question

Даю 80 баллов. Доделать задание "вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением"

Answer 1

$y=ln, cosx; ; ,; ; frac{pi }{3}leq xleq frac{2pi }{3}\\l= intlimits^{b}_{a}sqrt{1+(y')^2}, dx\\y'=frac{1}{cosx}cdot (-sinx)=-tgx\\sqrt{1+(y')^2}=sqrt{1+tg^2x} =sqrt{frac{1}{cos^2x}}=frac{1}{|cosx|}=frac{1}{cosx}; ,\\t.k.; cosx textgreater 0; ; pri; ; ; frac{pi }{3}leq xleq frac{2pi }{3}\\l=intlimits^{frac{2pi}{3}}_{frac{pi}{3}} frac{1}{cosx}, dx=ln|tg(frac{x}{2}+frac{pi}{4})|Big |_{frac{pi}{3}}^{frac{2pi }{3}}=\\=ln|tg(frac{pi }{3}+frac{pi}{4})|-ln|tg(frac{pi}{6}+frac{pi}{4})|=ln|tgfrac{7pi }{12}|-ln|tgfrac{5pi }{12}|$

$P.S.; ; int frac{dx}{cosx}=int frac{dx}{sin(frac{pi }{2}+x)}=int frac{dx}{sin(2cdot (frac{pi}{4}+frac{x}{2}))}=\\=int frac{dx}{2cdot sin(frac{pi}{4}+frac{x}{2})cdot cos(frac{pi}{4}+frac{x}{2})}=int frac{dx}{2cdot frac{sin(frac{pi}{4}+frac{x}{2})}{cos(frac{pi}{4}+frac{x}{2})}cdot cos^2(frac{pi}{4}+frac{x}{2})}=\\=int frac{dx}{2cdot tg(frac{pi}{4}+frac{x}{2})cdot cos^2(frac{pi}{4}+frac{x}{2})}=int frac{d(tg(frac{pi}{4}+frac{x}{2}))}{tg(frac{pi}{4}+frac{x}{2})}=ln|tg(frac{x}{2}+frac{pi}{4})|+C$

Answer 2

спасибо