Question

Помогите, пожалуйста!

Answer 1

№9.
Дано:
Прямоугольный треугольник ABC;
H принадлежит BC;
D принадлежит AB;
BD = BH; HC = DA;
HF перпендикулярно BC;
DE перпендикулярно AB;
Доказать: AE = FC и AF = CE.
-----
Доказательство:
Треугольник ABC - равнобедренный, т.к. AB = AD+DB и BC = BH+HC, а AD = HC и BD = BH, значит, AB = BC.
Так как треугольник ABC - равнобедренный и прямоугольный, то угол С равен углу А равен 45°.
Треугольник ADE равен треугольнику HFC по стороне и двум прилежащим к ней углам (DA=HC, угол H = углу D и угол A равен углу С).
Значит, AE = CF - как соответственные элементы равных треугольников.
Пусть пересечение HF и DE - N.
Т.к. угол В - прямой и BD = BH, то BHND - квадрат, значит, BH = HN = DN = DB.
Т.к. HN = DN, то HF-HN = DE-DN, т.к. HF = DE, как соответственные элементы равных треугольников ADE и HCF. Значит, NE = NF, отсюда имеем:
AE-EF = CF-EF, т.к. AE = CF. Значит, AF = CE, что и требовалось доказать.

№10.
Дано:
ABCD - равнобедренная трапеция с основаниями AD(большее) и BC;
BF и CE - высоты.
BC параллельно AD;
Доказать: AF = DE.
-----
Доказательство:
Т.к. ABCD - трапеция, то BC параллельно AD, а значит, BF = EC (при пересечении двух параллельных друг другу прямых двумя другими параллельными друг другу прямыми, отрезки заключённые между точками пересечения будут равны у соответственно параллельных прямых. Иначе говоря, получится параллелограмм, у которого противоположные стороны равны и параллельны).
Т.к. ABCD - равнобедренная трапеция, то угол A = углу D. В треугольнике ABF: угол ABF = 180°-90°-угол А. В треугольнике ECD: угол ECD = 180°-90°-угол D. А т.к. угол D равен углу A, то угол ABF = углу ECD.
Треугольник ABF = треугольнику ECD по стороне и двум прилежащим к ней углам (BF=CE, угол F = углу Е и угол В равен углу С).
Отсюда, AF = DE, как соответственные элементы равных треугольников, что и требовалось доказать.

№11.
Дано:
Треугольник ADC - равнобедренный;
DB - биссектриса;
Угол А = углу С = 70°;
Доказать: АВ = ВС.
-----
Доказательство:
Угол ADB = углу BDC, т.к. DBC - биссектриса. 
Биссектриса в равнобедренном треугольнике также является медианой и высотой, значит, угол DBA = углу DBC и AB = BC, что и требовалось доказать.

№12.
Дано:
ABCD - параллелограмм;
AC - диагональ;
BF перпендикулярно AC и DE перпендикулярно AC;
AB = CD.
Доказать: BF = ED.
-----
Доказательство:
Т.к. AB параллельно CD, то угол BAС равен углу ACD - как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC.
В треугольнике ABF:
Угол AВF = 180°-90°-угол BCА, угол CDE =180°-90°-угол ACD. т.к. угол ABF = углу ACD, то угол ABF = углу CDE.
Треугольник ABF = треугольнику CDE - по стороне и двум прилежащим к ней углам (AB=CD, угол ACD = углу CAB и угол ABF = углу CDE).
BF = ED - как соответственные элементы равных треугольников, что и требовалось доказать.

№13.
Дано:
Угол В = 30°;
ВА = 4 см;
AH - высота к прямой а;
Угол H = 90°;
АН - ?
-----
Решение:
Известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. 
Т.к. BA равна 4 см, а AH = 1/2 BA, то AH = 2 см.
Ответ: 2 сантиметра.

№14.
Дано:
Треугольник MAK;
MK = 14 см;
Угол MAK равен углу MKA, равен 45°;
АН - высота;
АН - ?
-----
Решение:
В треугольниках MHA и AHK:
Угол AHK = углу AHM = 90°;
Угол NAK = 180°-90°-45° = углу HAM = 180°-90°-45° = 45°.
Треугольники MHA и HKA - равнобедренные, значит, MH = HK = 1/2 MK = 7 см.
Т.к. треугольники равнобедренные с основаниями AK и MA, то HA = HK = HM = 7 см.
Ответ: 7 сантиметров.

№15.
Дано:
Треугольник AMK;
Угол М = 30°;
Угол К = 60°;
АН - высота;
AH - ?
-----
Решение:
Угол А = 180°-60°-30° = 90°. 
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° равен 1/2 гипотенузы. Значит, AH = 1/2 MA.
Выразить числом AH никак, т.к. ни одна сторона неизвестна, а значит, длина может быть любой.

№16.
Дано:
Треугольник MNK;
NK принадлежит прямой а;
Треугольник NKA;
Угол М = 60°;
Угол ANM = 30°;
NM = MK;
AK = 7 см;
АН - высота;
АН - ?
-----
Решение:
Т.к. в треугольнике MNK - MN = MK, то он - равнобедренный, с основанием NK. Значит, угол N = углу К = (180°-60°)/2 = 60°, значит, треугольник MNK - равносторонний, поэтому NK = MK = MN.
Т.к. угол AMN = 30°, а угол NKM = 60°, то угол ANK = 60°-30° = 30° = углу AKN.
Треугольник ANK - равнобедренный, т.к. углы при основании равны. Значит, AH также будет являться медианой и биссектрисой.
В прямоугольном треугольнике NAH:
Катет, лежащий против угла в 30° равен 1/2 гипотенузы. AH = 1/2 AN, а т.к. треугольник NKA равнобедренный, то NA = KA = 7 см, то AH = 3.5 см.
Ответ: 3.5 см