Question

Решить неравенство

$|x^4-x^3+x^2+5x-6|+|x^4+x^3+x^2-5x-6| leq 24$

Answer 1

$f(x)=x^4-x^3+x^2+5x-6\\ f(-x)=x^4+x^3+x^2-5x-6$

$|f(x)|+|f(-x)| leq 24\\ |f(x)| leq 24-|f(-x)|\\ |f(-x)|-24 leq f(x) leq 24-|f(-x)|\  begin{equation*} begin{cases} |f(-x)| leq 24+f(x)\ |f(-x)| leq 24-f(x) end{cases} end{equation*} begin{equation*} begin{cases} -24-f(x) leq f(-x) leq 24+f(x)\ -24+f(x) leq f(-x) leq 24-f(x) end{cases} end{equation*}$

$begin{equation*} begin{cases} f(-x) geq -24-f(x)\ f(-x) leq 24+f(x)\ f(-x) geq -24+f(x)\ f(-x) leq 24-f(x) end{cases} end{equation*} begin{equation*} begin{cases} f(-x)+f(x) geq -24\ f(-x) -f(x)leq 24\ f(-x) -f(x)geq -24\ f(-x)+f(x) leq 24 end{cases} end{equation*}$
--------------------------------------------------
$f(-x)+f(x)=2(x^4+x^2-6)\\ f(-x)-f(x)=2(x^3-5x)$
--------------------------------------------------
Первое неравенство из системы:
$x^4+x^2-6 geq -12\\ x^4+x^2+6 geq 0\\ x^4+2*x^2*frac{1}{2}+(frac{1}{2})^2-0.25+6 geq 0\\ (x^2+0.5)^2+5.75 geq 0\\ xin(-infty; +infty)$
---------------------------------------------------
 Четвертое неравество из системы:
$x^4+x^2-6 leq 12\\ x^4+x^2-18 leq 0\\ D=1+4*18=63\\ (x^2-frac{-1+sqrt{73}}{2})(x^2-frac{-1-sqrt{73}}{2}) leq 0\\ (x^2-frac{-1+sqrt{73}}{2})(x^2+frac{1+sqrt{73}}{2}) leq 0\\ x^2-frac{-1+sqrt{73}}{2} leq 0\\ (x-sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} })(x+sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }) leq 0\\ xin[-sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }; sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }]$
----------------------------------------------
Второе неравенство из системы:
$x^3-5x leq 12\\ x^3-5x-12 leq 0$
по свободному коэффициенту угадывается нуль полинома в неравестве: $x_0=3$

Зная это:
$x^3-5x-12=(x-3)*(x^2+bx+4)=(x-3)(x^2+3x+4)$

$(x-3)(x^2+3x+4) leq 0\\ (x-3)(x^2+2*x*1.5+2.25+4-2.25) leq 0\\ (x-3)[(x+1.5)^2+1.75] leq 0\\ x-3 leq 0\\ x leq 3\\ xin(-infty; 3]$
-----------------------------------------------
Третье неравенство из системы:
$x^3-5x geq -12\\ x^3-5x+12 geq 0$
по свободному коэффициенту угадывается нуль полинома в неравестве: $x_0=-3$

Зная это:
$x^3-5x+12=(x+3)*(x^2+bx+4)=(x+3)(x^2-3x+4)$

$(x+3)(x^2-3x+4) geq 0\\ (x+3)(x^2-2*x*1.5+2.25+4-2.25) geq 0\\ (x+3)[(x-1.5)^2+1.75] geq 0\\ x+3 geq 0\\ x geq -3\\ xin[-3;+infty)$
-------------------------------------------
$begin{equation*} begin{cases} xin(-infty; +infty)\ xin(-infty; 3]\ xin[-3;+infty)\ xin[-sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }; sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }] end{cases} end{equation*} begin{equation*} begin{cases} xin[-3; 3]\ xin[-sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }; sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }] end{cases} end{equation*}$

$3 ? sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }\\ 9 ? frac{-1+sqrt{73}}{2}\\ 18 ? -1+sqrt{73}\\ 19 ? sqrt{73}\\ 361=19^2 textgreater 73$

$begin{equation*} begin{cases} xin[-3; 3]\ xin[-sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }; sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }] end{cases} end{equation*}$

$xin[-sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }; sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }]$
--------------------------------
Ответ: $[-sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }; sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2} }]$