Question

Решить неравенство $|x^4-x^3+x^2+5x-6|+|x^4+x^3+x^2-5x-6| ge 24$

Answer 1

$f(x)=x^4-x^3+x^2+5x-6\\ f(-x)=x^4+x^3+x^2-5x-6$

$|f(x)|+|f(-x)| geq 24\\ |f(x)| geq 24-|f(-x)|\\ left[ begin{array}{l} f(x) geq 24-|f(-x)|\ f(x) leq -24+|f(-x)| end{array} right. \\\ left[ begin{array}{l} |f(-x)| geq 24-f(x)\ |f(-x)| geq 24+f(x) end{array} right.$

$\\\ left[ begin{array}{l} f(-x) geq 24-f(x)\ f(-x) leq -24+f(x)\ f(-x) geq 24+f(x)\ f(-x) leq -24-f(x) end{array} right. \\\ left[ begin{array}{l} f(-x) +f(x)geq 24\ f(-x) - f(x)leq -24\ f(-x)-f(x) geq 24\ f(-x)+f(x) leq -24 end{array} right.$

$f(-x)+f(x)=2(x^4+x^2-6)\\ f(-x)+f(x)=2(x^3-5x)\\ left[ begin{array}{l} x^4+x^2-6geq 12\ x^3-5xleq -12\ x^3-5x geq 12\ x^4+x^2-6 leq -12 end{array} right. \\\ left[ begin{array}{l} x^4+x^2-18geq 0\ x^3-5x+12leq 0\ x^3-5x-12 geq 0\ x^4+x^2+6 leq 0 end{array} right.$
----------------------------------------
Четвертое неравенство:
$x^4+x^2+6 leq 0\\ x^4+2*x^2*frac{1}{2}+(frac{1}{2})^2+6-0.25 leq 0\\ (x^2+0.5)^2+5.75 leq 0\\ xnotin(-infty; +infty)$
-----------------------------------------
Первое неравенство:
$x^4+x^2-18 geq 0\\ D=1+4*18=73\\ (x^2-frac{-1+sqrt{73}}{2})(x^2-frac{-1-sqrt{73}}{2}) geq 0\\ (x^2-frac{-1+sqrt{73}}{2})(x^2+frac{1+sqrt{73}}{2}) geq 0\\ x^2-frac{-1+sqrt{73}}{2} geq 0\\ (x-sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}})(x+sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}) geq 0\\ xin(-infty; -sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}]cup[sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}; +infty)$
---------------------------------------
Второе неравенство:
$x^3-5x+12 leq 0$
по свободному коэффициенту угадывается нуль полинома в неравестве: $x_0=-3$

Зная это:
$x^3-5x+12=(x+3)(x^2+bx+4)=(x+3)(x^2-3x+4)\\ (x+3)(x^2-3x+4) leq 0\\ (x+3)(x^2-2*x*frac{3}{2}+(frac{3}{2})^2+4-2.25) leq 0\\ (x+3)[(x-1.5)^2+1.75] leq 0\\ x+3 leq 0\\ x leq -3\\ xin(-infty; -3]$
---------------------------------------
Третье неравенство:
$x^3-5x-12 geq 0$
по свободному коэффициенту угадывается нуль полинома в неравестве: $x_0=3$

Зная это:
$x^3-5x-12=(x-3)(x^2+bx+4)=(x+3)(x^2+3x+4)\\ (x-3)(x^2+3x+4) geq 0\\ (x-3)(x^2+2*x*frac{3}{2}+(frac{3}{2})^2+4-2.25) geq 0\\ (x-3)[(x+1.5)^2+1.75] geq 0\\ x-3 geq 0\\ x geq 3\\ xin[3; +infty)$
---------------------------------
$left[ begin{array}{l} xin(-infty; -sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}]cup[sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}; +infty)\ xin(-infty; -3]\ xin[3; +infty)\ xnotin(-infty; +infty) end{array} right.$

$left[ begin{array}{l} xin(-infty; -sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}]cup[sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}; +infty)\ xin(-infty; -3]cup[3; +infty)\ end{array} right.$

$3 ? sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}\\ 9 ? frac{-1+sqrt{73}}{2}\\ 18 ? -1+sqrt{73}\\ 19 ? sqrt{73}\\ 361=19^2 textgreater 73$

$left[ begin{array}{l} xin(-infty; -sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}]cup[sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}; +infty)\ xin(-infty; -3]cup[3; +infty)\ end{array} right. \\\ xin(-infty; -sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}]cup[sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}; +infty)$
------------------------------

Ответ: $(-infty; -sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}]cup[sqrt{frac{-1+sqrt{73}}{2}}; +infty)$

Answer 2

во второй строке после 4ой совокупности ошибка вроде. Там f(-x)-f(x)=2(x^3-5x) должно быть слева, а сейчас стоит +

Answer 3

да, там минус

Answer 4

и это опечатка

Answer 5

во второй строке после 4ой совокупности вместо "f(-x)+f(x)=2(x^3-5x)" должно быть "f(-x) - f(x)=2(x^3-5x)"