Question

Найдите объем конуса, если его осевое сечение - треугольник с периметром P и тупым углом α .

Answer 1

Сечение - ΔАВС - равнобедренный Δ ,  периметр  Р=2·АВ+АС=2а+АС.
∠АВС=α  ⇒  ∠АВН=α/2
Из ΔАВН:  АН=a·sinα/2  ,  BH=a·cosα/2 .
P=2a+2·AH=2a+2a·sinα/2=2a·(1+sinα/2)   ⇒   a=P/(2(1+sinα/2)) , 
AH=(Psinα/2)/(2(1+sinα/2))
BH=(Pcosα/2)/(2(1+sinα/2))

$V= frac{1}{3}pi R^2cdot H=frac{1}{3}cdot pi cdot AH^2cdot BH=frac{pi }{3}cdot (acdot sinfrac{ alpha }{2})^2cdot (acdot cosfrac{ alpha }{2})=\\= frac{pi }{3}cdot frac{P^2cdot sin^2frac{ alpha }{2}}{4(1+sinfrac{ alpha }{2})^2}cdot frac{Pcdot cosfrac{ alpha }{2}}{2(1+sinfrac{ alpha }{2})}=frac{pi }{3}cdot frac{P^3cdot sin^2frac{ alpha }{2}cdot cosfrac{ alpha }{2}}{8(1+sinfrac{alpha }{2})^3}$