Question

решить интеграл
dx/(4sin^(2)x-7cos^(2)x)

Answer 1

Формулы:
$cos^2x=1-sin^2x \ \ frac{1}{cos^2x}=1+tg^2x \ \ frac{sin^2x}{cos^2x}=tg^2x$

Также воспользовались внесением под знак дифференциала:
$d(tgx)= frac{1}{cos^2x} dx$


$intlimits { frac{dx}{4sin^2x -7cos^2x} } ,= intlimits { frac{dx}{4sin^2x -7(1-sin^2x)} } ,= intlimits { frac{dx}{4sin^2x -7+7sin^2x} } , =\ \= intlimits { frac{dx}{11sin^2x -7} } ,= intlimits { frac{dx}{cos^2x(11 frac{sin^2x}{cos^2x} - 7frac{1}{cos^2x})} } ,= intlimits { frac{d(tgx)}{11tg^2x -7(1+ tg^2x) } } ,= \ \ = intlimits { frac{d(tgx)}{11tg^2x -7-7tg^2x} } ,= intlimits { frac{d(tgx)}{4tg^2x -7} } ,= frac{1}{2} intlimits { frac{d(2tgx)}{4tg^2x -7} }=|2tgx=y|$

$=frac{1}{2} intlimits { frac{d(y)}{y^2 -7} }=frac{1}{2}* frac{1}{2 sqrt{7} } ln| frac{y- sqrt{7} }{y+sqrt{7} } |+C= frac{1}{4 sqrt{7} } ln| frac{2tgx- sqrt{7} }{2tgx+sqrt{7} } |+C$