Question

1) Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел:
3xi-4+5y=9i+2x+3yi

2) Выполнить действия и результат записать в тригонометрической форме:
а) $frac{2i ^{5} }{1+i ^{17} }$

б)$frac{(1-i) ^{5} }{(1+i)^{3}}$

Answer 1

1) $3xi-4+5y=9i+2x+3yi$
Соберём мнимые и вещественные части вместе:
$(5y-4) + 3xi = 2x + (3y+9)i$
Мнимые и вещественные части д.б. равны, отсюда получаем систему уравнений, которую решаем:

$left { {{5y-4=2x} atop {3x=3y+9}} right. \ \ x = y + 3 \ \ 5y - 4 = 2(y + 3) \ 5y - 4 = 2y + 6 \ 3y = 10 \ \ y= frac{10}{3}; ::::: x = frac{10}{3} + 3 = frac{19}{3}$

2) $frac{2i^5}{1+i^{17}}$
Возведём мнимую единицу в соответствующую степень, учитывая, что:
$i^2 = -1; :::::: i^4 = 1$

$frac{2i^5}{1+i^{17}} = frac{2i*i^4}{1+i*i^{16}} = frac{2i}{1+i}$

Деление мнимых чисел производится умножением числителя и знаменателя на выражение сопряжённое со знаменателем.

$frac{2i}{1+i} = frac{2i}{1+i} * frac{1-i}{1-i} = frac{2i - 2i*i}{1-i^2} = frac{2i+2}{1+1} = i + 1$

Вещественная часть комплексного числа равна a = 1, мнимая часть тоже равна b = 1.
Найдём модуль комплексного числа |z|:

$|z| = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2}$

Найдём аргумент комплексного числа, используя формулу:
$arg(z) = phi = arctg frac{b}{a}$
При этом надо учитывать следующие случаи:
1. если a>0, то $phi = arctg frac{b}{a}$
2. если a<0 и b>0, то $phi = pi + arctg frac{b}{a}$
3. если a<0 и b<0, то $phi = - pi +arctg frac{b}{a}$

У нас первый случай:
$phi = arctg frac{b}{a} = arctg frac{1}{1} = arctg 1 = frac{ pi }{4}$

Отсюда, тригонометрическая форма будет такая:

$z = |z|* (cos phi + isin phi) = sqrt{2} (cos frac{ pi }{4} + isin frac{ pi }{4} )$

3) $frac{(1-i)^5}{(1+i)^3}$
Делаем аналогично.

$frac{(1-i)^5}{(1+i)^3} = frac{1-5i+10i^2-10i^3+5i^4-i^5}{1+3i+3i^2+i^3} = \ \ = frac{1-5i-10+10i+5-i}{1+3i-3-i} = frac{-4+4i}{-2+2i} = frac{-4(1-i)}{-2(1-i)} = 2 \ \ a = 2; :::::: b = 0 \ \ |z| = sqrt{2^2+0^2} = 2 \ \ phi = arctg frac{0}{2} = 0 \ \ z = 2(cos0 + isin0)$