Question

1)В остроугольном треугольнике ABC  провели медиану AM и описанную окружность с центром O. Известно, что <MAC=<OCA, <BAC=60, AB= 6 корней из 3. Найдите расстояние  от центра окружности до AC.

2)Дан треугольник ABC.  В него вписана окружность, касающаяся BC и AC в точках M и N. Найдите MN, если AB=20, BC=25+ корень из 65, AC=25 - корень из 65.
Помогите пожалуйста !

Answer 1

1.Проведем медиану СК к стороне АВ. Треугольники АОЕ и СОЕравны по 2 углам и стороне(ОЕ-перпендикуляр к АС, углы АЕО и ОСА равны по условию ОЕ- общая)ТогдаАО=СО. а медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1 тогда значит и КО=ОМ и треугольники АОК и СОМ равны по 2 сторонам и углу между ними(углы МОС и КОА вертикальные),тогда МС=АК и по определению медиан МС=ВМ=АК=ВМ т е АВ=ВС. Треугольник АВС равнобедренный и услы при основании равны 60( по условию один из них 60 градусов)но тогда АВС правильный.а в правильном треугольнике центры вписаной и описаной совпадают значит ОМ=r, r=a*корень из 3/6=3 см
ответ 3 см