Question

исследуйте функцию y= 2x√1-x на монотонность и экстремумы

Answer 1

Находим производную функции первого порядка.
      $y'=(2x sqrt{1-x} )'=(2x)'cdotsqrt{1-x}+2xcdot (sqrt{1-x})'=\ \ =2sqrt{1-x}+2xcdot frac{1}{2sqrt{1-x}} cdot(1-x)'=2sqrt{1-x}- frac{x}{sqrt{1-x}} = frac{2-3x}{sqrt{1-x}}$

$y'=0;~~~ frac{2-3x}{sqrt{1-x}}=0$
Дробь обращается в нуль, если числитель дроби равен нулю:
$2-3x=0;~~~Rightarrow~~~ x=frac{2}{3}$

_____+____(2/3)____-___(1)
Функция возрастает на промежутке $x in (-infty;frac{2}{3})$, а убывает - $x in (frac{2}{3};1).$
В точке х=2/3 функция имеет локальный максимум.