Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
$y=2x^2+6x-1, y=-x^2+x+1$

Answer 1

$y(x) = 2x^2+6x-1\ g(x) = -x^2+x+1\\ y(x) = g(x)\ 2x^2+6x-1=-x^2+x+1\ 3x^2+5x-2=0\ (x+2)(3x-1)=0\ x_1=-2;x_2=frac{1}{3}\\ S=int_{-2}^{frac{1}{3}}(g(x)-f(x))dx=\\ =int_{-2}^{frac{1}{3}}(-3x^2-5x+2)dx=(-x^3-frac{5}{2}x^2+2x)|_{-2}^{frac{1}{3}}=\\ =-frac{1}{27}-frac{5}{18}+frac{2}{3}-8+10+4=6-frac{2+15-36}{54}=\\ =6frac{19}{54}$

Answer 2

Найдем абсциссы точек пересечения заданных линий:

$left { {{y=2x^2+6x-1} atop {y=-x^2+x+1}} right.\2x^2+6x-1=-x^2+x+1\3x^2+5x-2=0\ left { {{x_1=-2} atop {x_2= frac{1}{3} }} right.$

$x_1,x_2$ - пределы интегрирования. (на рисунке изображены как "a" и "b".

$S= intlimits^ {frac{1}{3}}_{-2} ({-x^2+x+1-(2x^2+6x-1)}) , dx= intlimits^ {frac{1}{3}}_{-2} {-3x^2-5x+2} , dx=\=intlimits^ {frac{1}{3}}_{-2} {-3x^2 , dx-intlimits^ {frac{1}{3}}_{-2} {5x} , dx+intlimits^ {frac{1}{3}}_{-2} {2} , dx=- frac{3x^3}{3} |^{ frac{1}{3}}_{-2} - frac{5x^2}{2} |^{ frac{1}{3}}_{-2} + 2x |^{ frac{1}{3}}_{-2}=$
$= frac{-6x^3-15x^2+12x}{6} |^{ frac{1}{3}}_{-2}= -frac{x}{2}(2x^2+5x-4) |^{ frac{1}{3}}_{-2}= -frac{1}{6}( frac{2}{9}+frac{5}{3}-4)-\-(- (-frac{2}{2})(8-10-4))= frac{19}{54}+frac{324}{54}= frac{343}{54}=6frac{19}{54}$