Question

Решите неравенство с логарифмом

Answer 1

ОДЗ: $displaystylemathtt{left{{{x textgreater 0}atop{xneq(frac{1}{2})^n,~nin[0;2]}}right}$

изобразим неравенство слегка иначе: $mathtt{frac{1}{log_{64}4x}leqfrac{1}{log_82x}+frac{1}{log_2x}}$

дальше – больше! сплошные выносы степеней и оснований логарифмов с последующей заменой $mathtt{log_2x=a}$: 

$mathtt{frac{6}{log_24x}leqfrac{3}{log_22x}+frac{1}{log_2x};~frac{6}{log_2x+2}leqfrac{3}{log_2x+1}+frac{1}{log_2x};~frac{6}{a+2}leqfrac{3}{a+1}+frac{1}{a};~}\mathtt{frac{6a(a+1)-3a(a+2)-(a+1)(a+2)}{a(a+1)(a+2)}leq0;~frac{(2a+1)(a-2)}{a(a+1)(a+2)}leq0}$

решение неравенства с заменой: $mathtt{ain(infty;-2)U(-1;-frac{1}{2}]U(0;2]}$

обратная замена: $mathtt{left[begin{array}{ccc}mathtt{log_2x textless -2}\mathtt{-1 textless log_2xleq-frac{1}{2}}\mathtt{0 textless log_2xleq2}end{array}rightleft[begin{array}{ccc}mathtt{x textless frac{1}{4}}\mathtt{frac{1}{2} textless x leqfrac{sqrt{2}}{2}}\mathtt{1 textless x leq4}end{array}right}$

учитывая ОДЗ, получаем окончательный ответ: $mathtt{xin(0;frac{1}{4})U(frac{1}{2};frac{sqrt{2}}{2}]U(1;4]}$