Question

при $displaystylemathtt{left{{{x textgreater 0}atop{xneq1}}right}$ найдите значение выражения:

$displaystylemathtt{frac{log_{sqrt[1998]{x^2}}(x^{999})^{-frac{2log_3frac{1}{sqrt[3]{19683}}}{3}}}{1998}-log_2frac{(log_{sqrt{2}}8)^{log_{216^{tg^2(frac{pi}{6})}}273^{log_{sqrt{273}}2}}}{4}}$

Answer 1

сразу отмечу, что, при вынесении чётной степени, модуль нигде писать не понадобится – таковы условия задачи

упростим уменьшаемое: 

$mathtt{frac{log_{sqrt[1998]{x^2}}(x^{999})^{-frac{2log_3frac{1}{sqrt[3]{19683}}}{3}}}{1998}=frac{log_{sqrt[999]{x}}(x^{999})^{-frac{2log_3frac{1}{27}}{3}}}{1998}=frac{999log_x(x^{999})^{frac{-2*(-3)}{3}}}{1998}=}\mathtt{frac{log_x(x^{999})^2}{2}=frac{999*2log_xx}{2}=999}$

упростим вычитаемое: 

$mathtt{log_2frac{(log_{sqrt{2}}8)^{log_{216^{tg^2(frac{pi}{6})}}273^{log_{sqrt{273}}2}}}{4}=log_2frac{(2log_28)^{log_{216^{(frac{sqrt{3}}{3})^2}}273^{log_{273}4}}}{4}=}\mathtt{log_2frac{6^{log_{216^{frac{1}{3}}}4}}{4}=log_2frac{6^{log_64}}{4}=log_2frac{4}{4}=log_21=0}$

следовательно, 

$displaystylemathtt{frac{log_{sqrt[1998]{x^2}}(x^{999})^{-frac{2log_3frac{1}{sqrt[3]{19683}}}{3}}}{1998}-log_2frac{(log_{sqrt{2}}8)^{log_{216^{tg^2(frac{pi}{6})}}273^{log_{sqrt{273}}2}}}{4}=999}$