Question

Докажите, пожалуйста, тождество.

Answer 1

$frac{(ab^{-1}+a^{-1}b+1)*(a^{-1}-b^{-1})^2}{a^2b^{-2}+a^{-2}b^{2}-(ab^{-1}+a^{-1}b)}=\\\ =frac{(frac{a}{b}+frac{b}{a}+1)*(frac{1}{a}-frac{1}{b})^2}{frac{a^2}{b^2}+frac{b^2}{a^2}-(frac{a}{b}+frac{b}{a})}=\\\ =frac{(frac{a*a}{b*a}+frac{b*b}{a*b}+frac{1*a*b}{a*b})*(frac{1*b}{a*b}-frac{1*a}{b*a})^2}{frac{a^2*a^2}{b^2*a^2}+frac{b^2*b^2}{a^2*b^2}-(frac{a*a}{b*a}+frac{b*b}{a*b})}=$

$=frac{(frac{a^2}{ab}+frac{b^2}{ab}+frac{ab}{ab})*(frac{b}{ab}-frac{a}{ab})^2}{frac{a^4}{a^2b^2}+frac{b^4}{a^2b^2}-(frac{a^2}{ab}+frac{b^2}{ab})}=\\\ =frac{frac{a^2+b^2+ab}{ab}*(frac{b-a}{ab})^2}{frac{a^4+b^4}{a^2b^2}-frac{a^2+b^2}{ab}}=\\\ =frac{frac{a^2+b^2+ab}{ab}*frac{(a-b)^2}{a^2b^2}}{frac{a^4+b^4}{a^2b^2}-frac{(a^2+b^2)*ab}{ab*ab}}=\\\ =frac{frac{a^2+b^2+ab}{ab}*frac{(a-b)^2}{a^2b^2}}{frac{a^4+b^4-ab(a^2+b^2)}{a^2b^2}}=$

$=frac{frac{a^2+b^2+ab}{ab}*(a-b)^2}{a^4+b^4-ab(a^2+b^2)}=\\ =frac{[a^2+b^2+ab]*(a-b)^2}{ab*[a^4+b^4-ab(a^2+b^2)]}=\\ =frac{[a^2+b^2+ab]*(a-b)^2}{ab*[a^4+b^4-a^3b-ab^3]}=\\ =frac{[a^2+b^2+ab]*(a-b)*(a-b)}{ab*[a^4-a^3b-ab^3+b^4]}=\\ =frac{(a^3-b^3)*(a-b)}{ab*[a^3(a-b)-b^3(a-b)]}=\\ =frac{(a^3-b^3)*(a-b)}{ab*[(a^3-b^3)(a-b)]}=\\ =frac{1}{ab}$

Если бы в условии в знаменателе вместо $a^2b^{-2}+a^{-2}b^{2}-(ab^{-1}+a^{-1}b)$ было $a^2b^{-2}-a^{-2}b^{2}+(ab^{-1}-a^{-1}b)$

то действительно, ответ получился бы $frac{a-b}{ab(a+b)}$