Question

В окружности провели хорды АВ и СД, которые перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке Р так, что АР=20, ВР=12, СР=10, DP=24. Найдите расстояние от точки Р до центра окружности

Answer 1

Привожу стандартный ход решения подобных задач. Хотя есть и более изящные решения)
 
 
Пусть О - центр данной окружности. Тогда АО и ВО - ее радиусы, АО = ВО.
Найдем радиус этой окружности.
Для этого рассмотрим треугольник АСD. Его площадь равна 1/2*16*28 = 224.
Сторона АС по теореме Пифагора из треугольника АРС равна 8√5
Сторона АD по теореме Пифагора из треугольника АРD равна 4√41
 
Радиус описанной возле него окружности равен 28*8√5*4√41/(4*224) = √205
 
Итак, радиус нашей окружности равен √205.
 
Рассмотрим треугольник АОВ. Он равнобедренный, так как АО = ВО как радиусы. Проведем в нем высоту ОЕ из вершины О. Тогда АЕ = 26/2 = 13, ОЕ = 16 - 13 = 3.
Найдем эту высоту.
По теореме Пифагора из треугольника АЕО (с прямым углом Е) имеем:
ОЕ^2 = 205 - 13^2 = 36, откуда ОЕ = 6.
 
Итак, в треугольнике РЕО искомое расстояние ОР - гипотенуза, РЕ = 3 - меньший катет, ОЕ = 6 - больший катет.
Находим искомое расстояние как гипотенузу этого треугольника:
ОР^2 = 36 + 9 = 45, откуда ОР = 3√5.
 
Ответ: 3√5
Подробнее - на Znanija.com - https://znanija.com/task/2170476#readmore