Question

Спасите умоляю! Решить тригонометрическое уравнение: 2*arcsin(x) = arccos(x)

Answer 1

ОДЗ х∈[-1;1].

Применим cos к обеим частям.

Получаем

cos(2arcsin(x))=cos(arccos(x))

cos(2arcsin(x))=x

По формуле двойного угла

cos(2a)=1-2sin²a, получаем

1-2sin²(arcsin(x))=х

1-2*х²=х

2х²+х-1=0

D=1-4(-1)*2=1-8=9=3²

$x_{1,2}=frac{-1pm3}{2*2}$

x₁=-1   x₂=0,5

Проверим подстановкой.

x₁=-1 

2*arcsin(-1) = arccos(-1)

$2*(-frac{pi}{2})=pi$

-π=π - равенство неверно.

Значит x₁=-1  - не является корнем.

Проверим x₂=0,5.

Подставим в уравнение

2*arcsin(0,5) = arccos(0,5)

$2*frac{pi}{6}=frac{pi}{3}$

$frac{pi}{3}=frac{pi}{3}$ - равенство верно.

Значит х=0,5 - корень уравнения.

Ответ: х=0,5.

Answer 2

Вы хотите сказать, что не только acos(cos(x)) = x, но и cos(acos(x)) = x? Всегда?

Answer 3

Не всегда. Поэтому и есть ОДЗ с проверкой.